2020届高考数学一轮总复习第九单元解析几何第65讲抛物线练习理（含解析）新人教A版

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1、第65讲　抛物线1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则

2、PQ

3、的值为(B)A．10B．8C．5D．6因为p＝2，又

4、PF

5、＝x1＋，

6、QF

7、＝x2＋，所以

8、PQ

9、＝

10、PF

11、＋

12、QF

13、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.2．(2018·武汉二月调研)已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为(D)A．3B．2C．－2D．－3设A(，y1)，B(，y2)，则kOA＝，kOB＝，kA

14、B＝，由＝＋，即＝＋，所以kOB＝－3.3．(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且

15、PM

16、＝2

17、MF

18、，则直线OM的斜率的最大值为(C)A.B.C.D．1　　设出点的坐标，利用设而不求、整体代换法求解．如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，即x0＝.设M(x′，y′)，由＝2，得化简可得所以直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．4．(经典真题)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线

19、上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(A)A.B.C.D.由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.因为点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得

20、BM

21、＝

22、BF

23、－1，

24、AN

25、＝

26、AF

27、－1.在△CAN中，BM∥AN，所以＝＝.5．(2016·

28、浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　9　.设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，所以x＝9，所以点M到y轴的距离为9.6．(2017·河南新乡二模)已知点A(1，y1)，B(9，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，y2>y1>0，点F是抛物线的焦点，若

29、BF

30、＝5

31、AF

32、，则y＋y2的值为　10　.由抛物线的定义可知，9＋＝5(1＋)，解得p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x，又因为A，B两点在抛物线上，所以y1＝2

33、，y2＝6，所以y＋y2＝22＋6＝10.7．已知斜率为1的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．(1)求直线l的方程(用p表示)；(2)若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：

34、AB

35、＝x1＋x2＋p；(3)若

36、AB

37、＝4，求抛物线方程．(1)因为抛物线的焦点F的坐标为(，0)，又因为直线l的斜率为1，所以直线l的方程为：y＝x－.(2)证明：过点A，B分别作准线的垂线AA′，BB′，交准线于A′，B′，则由抛物线的定义得：

38、AB

39、＝

40、AF

41、＋

42、BF

43、＝

44、AA′

45、＋

46、

47、BB′

48、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.(3)由

49、AB

50、＝4，得x1＋x2＋p＝4.直线y＝x－与抛物线方程联立，⇒x2－3px＋＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4，解得p＝1，故抛物线方程为y2＝2x.8．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知

51、AB

52、＝4，

53、DE

54、＝2，则C的焦点到准线的距离为(B)A．2B．4C．6D．8设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.因为

55、AB

56、＝4，

57、DE

58、＝2，抛

59、物线的准线方程为x＝－，所以不妨设A(，2)，D(－，)．因为点A(，2)，D(－，)在圆x2＋y2＝r2上，所以所以＋8＝＋5，所以p＝4(负值舍去)．所以C的焦点到准线的距离为4.9．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝__2__.(方法1)由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，

60、B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝.由M(－1，1)，得＝(－1－x1，1－y1)，＝(－1－x2，1－y2)．由∠AMB＝90°，得·＝0，所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，所以x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，所以