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《2020届高考数学一轮总复习第九单元解析几何第64讲双曲线练习理(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第64讲 双曲线1.(经典真题)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且
2、PF1
3、=3,则
4、PF2
5、等于(B)A.11B.9C.5D.3由题意知a=3.由双曲线的定义有
6、
7、PF1
8、-
9、PF2
10、
11、=
12、3-
13、PF2
14、
15、=2a=6,所以
16、PF2
17、=9.2.(2018·银川三模)以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为(C)A.2B.C.2或D.因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以=,或=,所以c2=4a2,或c2=a2.所以e=2,或e=.3.(经典真题)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个
18、焦点.若·<0,则y0的取值范围是(A)A.(-,) B.(-,)C.(-,)D.(-,)由题意知F1(-,0),F2(,0),-y=1,所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=x+y-3=3y-1<0,解得-0,b>0)的一条渐近线与圆x2+(y-a)2=相切,则该双曲线的离心率为(D)A.3B.C.D.渐近线方程为ax±by=0,由条件d==,即=,所以c=3b,所以a2=c2-b2=9b2-b2=8b2,所以a=2b.所以e===.5.(2016·北京卷)双曲线-=1(a>0,b
19、>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= 2 .不妨令B为双曲线的右焦点,A在第一象限,则双曲线如图所示.因为四边形OABC为正方形,
20、OA
21、=2,所以c=
22、OB
23、=2,∠AOB=.因为直线OA是渐近线,方程为y=x,所以=tan∠AOB=1,即a=b.又因为a2+b2=c2=8,所以a=2.6.(2018·湖北5月冲刺试题)平面内,线段AB的长度为10,动点P满足
24、PA
25、=6+
26、PB
27、,则
28、PB
29、的最小值为__2__.以A,B所在直线为x轴,AB中点为坐标原点,建立平面直角坐标
30、系,由条件知P点轨迹是以A,B为焦点,2a=6,2c=10的双曲线的右支(如图).当P为双曲线的右顶点时,
31、PB
32、取最小值,其最小值为c-a=5-3=2.7.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且
33、F1F2
34、=2,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线的方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.(1)由已知c=,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m,n.则解得a=7,m=3,所以b=6,n=2.所以椭圆方程为+=1,双曲线方程
35、为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则
36、PF1
37、+
38、PF2
39、=14,
40、PF1
41、-
42、PF2
43、=6,所以
44、PF1
45、=10,
46、PF2
47、=4,又
48、F1F2
49、=2,所以cos∠F1PF2===.8.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则
50、MN
51、=(B)A.B.3C.2D.4由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=±x.设两渐近线夹角为2α,则有tanα==,所以α=30°.所以∠MON=2α=60°.又△OMN为直角
52、三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON,如图所示.在Rt△ONF中,
53、OF
54、=2,则
55、ON
56、=.则在Rt△OMN中,
57、MN
58、=
59、ON
60、·tan2α=·tan60°=3.9.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为____.如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,所以点A到l的距离d=.又∠MAN=60°,MA=NA=b,所以△MAN为等边三角形,所以d=MA=b,
61、即=b,所以a2=3b2,所以e===.10.已知双曲线C的中心在坐标原点O,对称轴为坐标轴,点(-2,0)是它的一个焦点,并且离心率为.(1)求双曲线C的方程;(2)已知点M(0,1),设P(x0,y0)是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点,求·的取值范围.(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,则c=2,又由=,得a=,b2=c2-a2=1,故所求双曲线C的方程为-y2=1.(2)依题意有:Q(-x0,-y0),所以=(x0,y0-1),=(-x0,-y0-1),所以·=-x-y+1,又-y=1,所以·=-x+2,由-
62、y=1可得,x≥3,所以·=-x+2≤-2.故·的取值范围是(-∞,-2].