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时间:2019-09-22
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1、精磨细琢深挖掘以美启真共提升----反比例函数图像的“美”及应用数学家希尔伯特把数学比作“一座鲜花盛开的园林”。在这个园林中,你可以感受到数学美中各种美的神韵。简洁美的沁人心肺,对称美的有规可循,和谐美的协调统一,奇异美的出人意料,相似美的赏心悦目。反比例函数就是园林中一朵娇艳的奇葩。瞧!反比例函数的图像为双曲线,双曲线在坐标系里翩翩起舞的样子,体现了数学美中对称美、简洁美、定值美、相似美。孩子们,下面就让我们一起来赏析和运用反比例函数之美来解决问题。一、“对称美”解题-----浓墨重彩绘本色我
2、们知道,反比例函数的图像是双曲线,它既是中心对称图形又是轴对称图形,坐标原点是对称中心,一三象限和二四象限的角分线是对称轴,利用这些对称性来解题,省时又省力。问题1:如图,一次函数图像y=x+b与反比例函数图像相交于A,B两点,A(2,1),则求B点的坐标。分析:因为直线和双曲线都关于二四象限的角分线对称,所以其交点也关于二四象限的角分线成轴对称。而关于二四象限角分线对称的点的坐标特点:若一个点的坐标是(a,b),则另一个点的坐标是(-b,-a)。所以B(-1,-2)。因此,运用对称之美解题,正
3、可谓是浓墨重彩绘本色。孩子们请注意:若︱k︱≠1,则就无上述性质了。想一想为什么呢?二、“简洁美”解题---淘尽泥沙始见金简洁美是数学中引人注目的美感之一,只有借助于数学,才能达到简洁性的美学准则。朴素,简单,使其外在形式,只有既朴实清秀,有底蕴深厚,才称得上至美。问题2:如图,一次函数y1=k1x1+2与反比例函数的图像交于点A(4,m)和B(-8,-2),与y轴交于点C.(1)k1=,k2=(2)根据函数图像可知,当y1>y2时,x的取值范围是()分析:第(1)问中已知点B的坐标,代入反比例
4、函数解析式求的K1,进而得到A点坐标,再把A,B两点坐标代入一次函数解析式求的K2第(2)中由A、B、O三点的横坐标将x轴分成四部分,看图像,从左到右每一部分图像,谁在上,谁的函数值就大,故-84因此,运用“简洁之美”解题,正可谓是淘尽泥沙始见金三、“定值美”解题---犹抱琵琶半遮面从反比例函数y=的图像的任意点做x轴和y轴的垂线,所得的两条垂线段和两坐标轴围成的面积始终不变,等于︱k︱,孩子们,想一想,这是为什么呀?如果能掌握这一点,在解题中那可就能可起到四两拨千斤的效果。问题3
5、:在反比例函数y=(x>0)的图像上有点P1、P2、P3、P4,他们的横坐标依次是1、2、3、4,分别过这些点做x轴和y轴的垂线段,图中所构成的图形的阴影部分从左到右面积分别为S1、S2、S3、则S1+S2+S3=分析:因为“同一层的矩形面积相等,最下面一层的每个小矩形的面积为0.5,把S1S2向左平移,得到S1+S2+S3=2-0.5=1.5。利用相同胡思路还可以求出S1S2S3的面积。因此,运用“定值之美”解题,正可谓是犹抱琵琶半遮面四、“相似美”解题---繁华落地见真淳相似美是一种格式的对
6、称,形式完全一样,只是变量间的位置调换了一下。使得知识系统变得简约而整齐。因此,相似美是一种即美丽又实用的美。问题4:如图,△ABO与△BCD都是等边三角形,O为坐标原点,点B、D在x轴上,AO=2,点A、C在一反比例函数图象上.(1)求此反比例函数解析式;(2)求点C的坐标;解:(1)过点A、C分别作AF⊥OB于点F,CE⊥DB于点E,∵AO=2,△ABO与△BCD是等边三角形,∴OF=1,FA=,∴点A的坐标是(-1,),把(-1,)代入,得k=-,∴反比例函数的解析式是(2)设BE=a,则
7、CE=a∴点C的坐标是(-2-a,a),把点C的坐标代入得(-2-a)a=-a=-1,∴点C的坐标是(-1-,-)。因此,运用“相似之美”解题,真可谓是繁华落地见真淳!同学们,数学课上,思尽天涯路,衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴,众里寻它千百度,蓦然回首,“四美”却在灯火阑珊处!
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