函数复习课－数学思想之数形结合

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1、函数复习课：数学思想方法之数形结合一、教学设计意图《义务教育数学课程标准（2011版）》教学建议中说：数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。所以在学习知识复习阶段创设一节融数学知识、思想方法、提出问题、分析问题、解决问题于一体的课有其重要价值。而选择良好的知识载体凸现数形结合的作用，又要具备一定思维价值，怎么

2、选择呢？回顾人教版的学生第一次接触“数形结合”是在七年级下册的《平面直角坐标系》，笛卡儿坐标系的提出者是勒奈·笛卡尔,他最主要的成果莫过于“几何学”，准确的说是将代数和几何连接起来。当时，代数还比较新，在数学家的头脑中，几何学的思维仍占据一席之地。笛卡尔一直在思考，能不能把几何学的问题用代数的形式表达出来，打破两者之间的界限。　　坐标系创立于1637年，笛卡尔当年创立坐标系还有一个故事。笛卡尔是在参军时，刚刚到了一个陌生的地方，他辗转反侧，难以入睡，又开始思考几何和代数的结合。然而，思绪一时半会理不清，笛卡尔无聊之际看到墙面上忙着爬行织网的蜘蛛，玩心大起，顿时有了兴趣，仔细观察了起来。看着蜘蛛

3、有规律地横竖交替地编织网格的时候，沉思中的笛卡尔灵机一动：蜘蛛运动的轨迹能不能这一条条的线来定位呢？蜘蛛所处的位置是不是也可以用线相交形成的点来确定呢？他仔细观察两面垂直的墙面以及天花板的交线，三平面是两两垂直的。他拿出笔来，仿照着画出了三条相互垂直的直线，分别代表两墙面的交线以及墙面和天花板的交线，在纸上描出一个点代表爬行于墙面的蜘蛛。蜘蛛这个点到三平面的距离自然是可以计算出来的，那么，这个点不就唯一确定了吗？它的位置就能精确唯一地被表示出来了。笛卡尔欣喜若狂，他在日记里写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理。”此时，他有了将代数和几何相结合的理论基础。随后便一发不可收拾，根据这种数

4、形结合思想，他创立了我们现在所谓的“解析几何学”，在平面上，用一点到两条固定直线的距离来描述点的位置；在空间中，就用一点到三个相互垂直平面的距离来精确定位点。此时，几何问题不仅可以用代数形式表示，还可以用代数变换来实现其几何性质。　　解析几何的出现，有着跨时代的意义。它改变了自从古希腊以来，几何和代数分离的趋势，将原本对立的两个概念——数与形，完美地统一起来，让几何曲线和代数方程结合起来。这一天才的创新为微积分的创立奠定了基础。笛卡尔的发明不仅为牛顿、莱布尼兹发现微积分开辟了道路，还开拓了变量数学的领域。为什么这么说呢？笛卡尔对点的定位从另一方面讲是把曲线看成是点运动的轨迹，这一观点建立了点和

5、实数的对应，将形（点、线、面）和“数”统一起来，将变数引进到数学中，数学不再是由常量组成的，也囊括了时时改变的变量。恩格斯给出了高度评价：数学中的转折点就是笛卡尔的变数，有了变数，运动才进入了数学，辩证法才进入了数学，微分和积分也就有了成立的基础。坐标的引入让代数和几何连接起来，是代数和几何相结合的理论基础。之后随之而学的函数则是这种数形结合的良好运用，所以选择“函数”内容是最佳的选择。为了让“数形结合”思想更融洽自然地体现，我们设置有效的问题串来形成学习过程。什么叫“有效”？激发学生思维、数形结合的意识自然渗透、自主选用。我们用递进的问题串让学生找到数形结合的抓手，即解决问题的落脚点。所以我

6、们选择了一条直线分别与直线、抛物线、双曲线结合的图形进行研究其中的形、数关系。一、学情分析数形结合思想是一种抽象思维和形象思维的结合，学生在《反比例函数》章节止，已经多次经历数形结合的学习过程。但学生是否在过去的学习过程中真正感悟到数形结合思想，并主动用这种思想方法解决问题是这节课要落实和渗透的。二、教学目标、重难点教学目标：通过函数知识的复习让学生进一步意识到代数和几何的联系，会用数形结合思想解决相关函数问题教学重点：函数问题的读图能力及用数表达图形的能力教学难点：激发学生主动地把数转化为形，形表述为数的能力三、教学过程设计1.思考引入，整合知识引入：同学们好，今天我们学习一节《函数》复习课

7、。我们刚刚学完了反比例函数，之前学习了一次函数、二次函数，我们知道各种函数的学习基本分为这几块内容：函数及其图象；函数与方程、不等式的联系；函数的应用。我们已经具备了函数的基础知识、基本技能，而今天这节课我们要复习的是函数学习中反映出的某些基本思想、基本活动经验。（书写课题：数学思想之）师：同学们认为函数中最常用的数学思想是什么？师：大家还记得进入初中学习后第一次接触“数形结合”是在什么章节内容吗