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1、数学思想方法之数形结合学案2007年11月20FI星期二引言：数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方而，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物。华罗庚先生说过：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与玄观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起來。在使用的过程中，111“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数
2、”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的便用往往偏重于由“数”到“形”的转化。考试屮心对考试人纲的说明屮强调：“在高考屮，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考牛将复杂的数量关系转化为直观的儿何图形问题來解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，対数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以山’形'至I」'数'的转化为主。”课题数形结合思想关键词：抽彖直观高考数形结合一、从一个典型的例子谈起【例1】（07安徽）对任意xgR，不等式忖恒成立，则实数d的取值范围是（）C.a<1和y
3、=在同一坐标系屮画出它们的图象，易知当问01时,2ax.X,+x2二、更多的例子【例2】方程log2x4-x-3=0和2'+兀一3=0的解分别是西和兀2,求西+兀2的值。【分析及解】在坐标系中分别画出函数y=log2x和y=T的图象与直线y=3-兀则坷,兀2分别是函数y=】og2兀与y=2”的图象与肓线y=3-兀的交点A、B的横坐标(如图所示)乂函数y=lOg2%与y=2‘互为反函数，其图象关于直线尸x对称，而直线y=x与直线y=3-兀垂直，故点A、B关于直线y=x对称，・••直线y=x与直线y=3-x的交点为线段AB的中点M2%()=—23＞，0=i【例3](2005年，辽宁卷,1
4、0)己知y=.f(x)是定义在R上的单调函数，实辱7宀晋0=^^，若
5、/g)—/(兀2)v
6、/G)—/(0)，则()o(A)A<0(B)A=0(C)01【分析及解】如果采用代数运算，则无所适从，如果画出单调函数y=/(x)的示意图象，111可断定横坐标为的点，至少有一个在横坐标为旺,兀2的点的外部，因而A<0,应选（A）.【例4】（2005年，辽宁卷，12）—给定函数y=/（x）的图象在下列图中，并H•对任意⑷e（0,1）,由关系式％严f（an）得到的数列｛〜｝满足，则该函数的图象是（）【分析及解】这是一道函数，数列，函数图象综合在一起的选择题，需要通过数列的性质
7、研究函数图象的特征.实际上，只要设匕=兀卫曲=y,则有y=/（X）且y〉兀，并对所有neN*都成立，因此选（A）・7T【例5】（2005年，江苏卷，5）AABC中，A=-,BC=3,则AABC的周长为（）.3(A)4V3sin(B+-)+33(B)4V3sin(B+-)+36n(C)6sin(B+亍)+37T(D)6昨+&)+3【分析及解】本题人部分考牛•都是用三角恒等变形和匸弦定理通过一定量的计算来完成，但是注意到数形结合，可以很快解决问题.为此，延长CA到D，使AD=AB,则兀71CD=AB+ACfZCBD=ZB+-,ZZ)=-,66由正弦定理usinDsinI6丿AB+AC，即
8、AB+AC=6sinB+-，由此选(C).I6丿【例6】若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在"（0,3）内冇唯一解，求实数m的取值范闌。【分析及解】原方程可化为—（兀-2）2+l=m（0G(C)/?<0
9、,c=0(D)/?>0,0,令/(x)=r,若/2(x)+/?/(x)+c=0有7个不同实数解贝J方程八+仞+c=0冇2个不同实数解，且为一正根，一零根.因此，bv0且c=0，故选(C).【例8】(07天津).在R上定义的函数f(x)是偶函数,Ja/(x)=/(2-x),若/⑴在区间［1,2］上是减函数,则/(兀)()A.B.C.D.在区间［-2,-1］上是增函数,在区间在区间卜2,・
