中学数学思想方法之数形结合研究

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1、中学数学思想方法之“数形结合”研究罗碧兰（广东第二师范学院510303）摘要：中学数学中的思想方法是中学阶段用于解答数学题的一类方法的概括，是贯穿于该类数学方法中的思维策略。例如，数形结合法、分类讨论法、公理化法、特殊化法、构造法等。其中的数形结合法又是解析法、三角法、图解法等的一类方法的概括，其思维解题策略是把数和形这两个数学研究的基本对象联系起来做综合考察，充分发挥代数和几何的理论优势，使问题得到解决。本文主要从中学数学中的思想方法——数形结合法在中学数学中的应用、影响两方面进行研究。关键词：

2、中学数学；思想方法；数形结合；转化；以形助数；以数解形1.引言：数学思想方法是一类具体方法的概括，它以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍使用的方法。数学思想方法是掌握数学知识的基本方法,也是提高数学基本功的重要措施。熟练掌握和灵活运用这类方法,就能左右逢源,找到突破口,简化复杂问题,更好、更快地发现解题思路。数形结合思想是联系代数知识和几何知识的纽带,是架设它们的桥梁，数与形结合考察,往往使复杂问题简化、明朗化【1】。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学科,所以数与形是

3、数学的两个基本概念。在解题时,数和形可以结合在一起,在内容上互相联系,在方法上相互渗透,在一定的条件下还可以相互转换,这就是数形结合思想。在教学中,它能激发学生的学习兴趣,提高学生的记忆能力,训练学生的直觉思维与创造思维。同时,数形结合是一种重要的数学思想方法,在解题中以形表达数量关系,借数解形,数形结合,可以达到直观又入微的教学效果。 这样，把数、式与图形结合起来,用代数的方法分析图形;用图形来直观地理解数、式中的关系。通过实例揭示了数形结合思想在解决问题时的重要作用,以及数形结合的意义。2.数

4、形结合的应用实例："数形结合"思想是重要的数学思想之一,在中学数学教学中,我们会经常用到它,尤其是在函数教学中.例如运用"数形结合"思想可以把一些抽象的数学问题变得具体化,具有"化腐朽为神奇"的力量,更有助于培养学生的想象力,增加学生的学习兴趣.数量关系如果借助于图形性质,可使许多抽象概念直观而形象,有利于解题途径的探求,这通常称为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究,又可以获得简捷而一般化的解法,即所谓“以数解形”【2】。它不仅在数学解题中有着强大的功能,更在数学教学中发挥着巨

5、大的作用。"形"的直观与"数"的精确相辅相成,能优化解题,化解难点知识。实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图像的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义,如等式(x-2)2+(y-1)2=4.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解题能使我们快而准地得到答案。以下是一些实例。一，以形助数。解析法：解析法又称坐标法，是解解析几何和立体几何问题的重要方法之

6、一。它是通过建立适当的坐标系，把几何问题转化为代数问题，再加以分析研究和计算解决问题的方法。应用该方法关键是如何选择恰当的坐标系，同一个问题，因为选择的坐标系不同，繁简程度有很大的差异。因此，选择坐标系时的法则是尽量使点的坐标容易标出来。例1.在△ABC中，AO是BC边上的中线。求证：AB2+AC2=2（OA2+OC2）。证明：取线段BC所在直线为x轴、点O为原点建立直角坐标系。如图（1），设点A（a,b），B（-c,0）,C(c，0),由两点距离公式可得AB2=（a+c）2+b2,AC2=(a-

7、c)2+b2,OA2=a2+b2,OC2=c2,∴AB2+AC2=2(a2+b2+c2),OA2+OC2=a2+b2+c2.∴AB2+AC2=2(OA2+OC2).数形结合法也可以用于解方程。例2.解方程：x2-2x-3=0。在直角坐标系中作抛物线x2-2x-3=0，从图上可以看出x1=-1,x2=3.当然此题最简便的方法是用求根法了！例3.如果实数x,y满足（x-2）2+y2=3,那么的最大值是（）。A．B.C.D.解析：如图（2），圆（x-2）2+y2=3的圆心为（2,0），半径为r=，设=k

8、,则k为y=kx的斜率，显然k的最大值在直线y=kx与圆相切时得到，及直线OM的斜率k为最大值。又︱AM︱=，︱OA︱=2，则∠MOA=60。于是Kmax=tan60。=.故选D。三角法：有些代数问题用代数方法解很麻烦,而用三角函数的方法来解,则能使复杂的问题简化。所谓三角法，就是引进辅助角，把代数或几何问题转化为三角函数问题的解决方法。例4.已知：x2-2xy+2y2=2,求证：-≤x+y≤.证明：由x2-2xy+2y2=2得+=1.因为sin2A+cos2A=1所以设sinA=