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时间:2018-09-24
《数学思想方法专题数形结合思想》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学思想方法专题:数形结合思想【教学目标】知识目标数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能。能力目标用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是“以数助形”,还有导数
2、更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。情感目标在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。【教学重难点】重点:对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,代数问题几何化,几何问题代数化。难点:一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征,关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义,巧妙运用数的精确性和严密性,来揭示形的某些属性。【考情分析】在高考中,利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法,突出考查考生将复杂的数量关
3、系转化为直观的几何图形来解决问题的意识,而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查,一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题,如何用代数方法来处理,另一方面,有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决,历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义,运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。【知识归纳】数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面,“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题,利用图形形式解决问题;“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题,利用代数的方
4、法解决问题。应用数形结合的思想,可实现以下类型的数与形的转化:(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围,求零点的个数;(3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式;(5)构建立体几何模型将代数问题几何化;(6)建立坐标关系,研究图形的确定形状、位置关系、性质等.【考点例析】题型1:数形结合思想在集合中的应用例1.设平面点集,则所表示的平面图形的面积为(D)A.B.C.D.解析:由可知或者,在同
5、一坐标系中做出平面区域,由图象可知的区域为阴影部分,根据对称性可知,两部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积为,选D.题型2:数形结合思想在方程、函数及不等式问题中的应用例2.若方程在内有唯一解,求实数m的取值范围。解析:原方程可化为设在同一坐标系中画出它们的图象(如图)。由原方程在(0,3)内有唯一解,知的图象只有一个公共点,可见m的取值范围是或。变式:对于实数,定义运算“*”:设,且关于的方程恰有三个互不相等的实数根,,,则的取值范围为。例3.设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如右图所示,则下列结论中一定成立的是(D)A.
6、函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值解析:由图象可知当时,,所以此时,函数递增.当时,,所以此时,函数递减.当时,,所以此时,函数递减.当时,,所以此时,函数递增.所以函数有极大值,极小值,选D.题型3:数形结合思想在求参数、代数式的取值范围问题中的应用例4.已知实数满足,,,①、求的取值范围;②证明:。例5.直线与曲线有四个交点,则的取值范围为。变式:已知函数,若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是。题型4:数形结合思想在解析几何问题中的应用例6.已知双曲线:的右焦点为
7、,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为()变式:已知直线与抛物线:相交于两点,为的焦点,若,则()例7.已知为椭圆内的一点,为椭圆的左焦点,为椭圆上的一动点,求的最大值和最小值.变式:已知为椭圆内的一点,为椭圆的左焦点,为椭圆上的一动点,求的最小值.题型5:数形结合思想在几何图形中的应用例8.如右下图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且满足MP=MB,则点M的轨迹为(B)解析:(定性法)要是MP=MB成立,则动点M的轨迹一定是PB的中垂面与该图形的交线,轨迹
8、为直线,又PA=AB,故点M轨迹经过点A,而PC>BC,故轨迹不经过点C,故选B。变式:如右下图,正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点,且
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