数学思想方法专题数形结合思想

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1、数学思想方法专题：数形结合思想【教学目标】知识目标数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。能力目标用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数

2、更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。情感目标在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。【教学重难点】重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。【考情分析】在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关

3、系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。【知识归纳】数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方

4、法解决问题。应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数；(3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式；(5)构建立体几何模型将代数问题几何化；(6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等.【考点例析】题型1：数形结合思想在集合中的应用例1．设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（D）A．B．C．D．解析：由可知或者，在同

5、一坐标系中做出平面区域，由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.题型2：数形结合思想在方程、函数及不等式问题中的应用例2．若方程在内有唯一解，求实数m的取值范围。解析：原方程可化为设在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是或。变式：对于实数，定义运算“*”：设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围为。例3．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如右图所示，则下列结论中一定成立的是（D）A．

6、函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值解析:由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.题型3：数形结合思想在求参数、代数式的取值范围问题中的应用例4．已知实数满足，，，①、求的取值范围；②证明：。例5.直线与曲线有四个交点，则的取值范围为。变式：已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是。题型4：数形结合思想在解析几何问题中的应用例6．已知双曲线:的右焦点为

7、，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（）变式：已知直线与抛物线：相交于两点，为的焦点，若，则（）例7.已知为椭圆内的一点，为椭圆的左焦点，为椭圆上的一动点，求的最大值和最小值.变式：已知为椭圆内的一点，为椭圆的左焦点，为椭圆上的一动点，求的最小值.题型5：数形结合思想在几何图形中的应用例8.如右下图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点，且满足MP=MB，则点M的轨迹为（B）解析：（定性法）要是MP=MB成立，则动点M的轨迹一定是PB的中垂面与该图形的交线，轨迹

8、为直线，又PA=AB，故点M轨迹经过点A，而PC>BC，故轨迹不经过点C，故选B。变式：如右下图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直O为正方形ABCD的中心,M为正方形ABCD内一点，且