专题2.7 以二次函数与圆的问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列（第02期）（解析版）

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1、第七关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结

2、合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题

3、时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。【典型例题】【例1】(贵州省遵义市2018年中考数学模拟)已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1。（1）当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；（2）若c=﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数

4、的表达式．【答案】（1）对称轴的方程为x=；（2）b=；（3）y=﹣x2+x+1．【解析】试题分析：（1）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，即可得出答案；（2）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（），y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b，得出方程组，求出b即可；﹣4x1，由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组，解方程组求出b的值即可．试题解析：解：（1）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，当b=1时，=，∴当b=1时，这个二次函数的对称轴的方程为x=．（2）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（）．∵二次函

5、数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b，∴，解得：b=，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．（舍去），∴c=0，OM=1．∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，∴DE=，DF=，∴×4，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1．∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．【名师点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的性质、二次函数的图象与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与

6、性质、根与系数是关系等知识；本题综合性强，有一定难度．【例2】(四川省泸州市泸县2018届九年级中考数学模拟)如图，在平面直角坐标系xoy中，O为原点，▱ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E是BC边上一点，CE=3EB，⊙P过A、O、D三点，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B、D三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：DE是⊙P的切线；（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以

7、点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）证明见解析；（3）点E'不在抛物线上，理由见解析；（4）N1（3，﹣），N2（5，），N3（﹣3，）．【解析】分析：（1）先确定出点B的坐标，进而求出点D的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出CE=3，利用两边对应成比例，夹角相等判断出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，结论得证；学科@网（3）先利用旋转求出点E'的坐标，最后判定点E'是否在抛物线上；（4）分三

8、种情况，利用线段的中点坐