专题2.4 以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题2018年中考数学备考优生百日闯关系列第02期解析

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1、第四关以二次函数与相似三角形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。二次函数与相似三角形的存在性问题是中考考试的一个热点。解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一

2、般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．【解题思路】理解存在性问题的解题思路，根据已知角相等找出对应边成比例，存在性问题的知识覆盖面较广，综合性较强，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的要求较高。一般思路是从存在的角度出发→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出不存在的判断【典型例题】【例1】（2018盐城市亭湖区调研）已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M

3、出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）．（1）求点E的坐标（用t表示）；（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值．（3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）E（0，1－t）；（2）或；（3）存在：当t＝，t＝，t＝2+时，使得△QOE与△PMF相似．（3）由F(1＋t，0)，F和F′

4、关于点M对称可得F′(1－t，0)，结合点Q是线段MF′的中点可得Q(1－t，0)，然后在1＜t＜2时，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值；在当t＞2时，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值.学科/网试题解析：（1）如下图，连结PM，PN．∵以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，∴∠PNE=∠PMF=∠MPN=90°，∴∠NPE+∠EPM=∠EPM+∠MPF=90°，∴∠NPE=∠MPF，又∵PM=PN，∴△PMF≌△PNE，∴NE

5、＝MF=t，∴OE=t-1，∴E（0，1－t）；（2）在直角△PMF中，，由PF=2OE得，解得或．∴F′(1－t，0)，∵点Q是MF′的中点，∴Q(1－t，0)，①当1＜t＜2时，如图，有OQ＝1－t，由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．当△OEQ∽△MPF时，∴，∴，解得，t＝或t＝(舍去)；当△OEQ∽△MFP时，，∴，解得，t＝或t＝(舍去)；②当t＞2时，如图，有OQ＝t－1，由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，当△OEQ∽△MPF，，∴，无解；当△OEQ∽△MFP时，；∴，解得或（舍去）．综上所述，当t＝，t

6、＝，时，使得△QOE与△PMF相似．【名师点睛】在解本题第3小题时，需注意：（1）要分（此时点Q点O的右侧）和（此时点Q在点O的左侧）两种情况分析讨论；（2）在上述两种情况中，又要分点Q对应点F和点Q对应点F两种情况分析讨论；即本体存在4种情况，解题时，不要忽略了其中任何一种情况.【例2】（2018江苏省无锡市滨湖区一模）已知：如图，一次函数y=－2x与二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图像交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与其对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图像的顶点为D，点C与点D关于x轴对称，且△ACD的

7、面积等于2.①求二次函数的解析式；②在该二次函数图像的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似.【答案】（1）C点的坐标为（－1，2）；（2）①y＝2x2＋4x；②点P的坐标为（－1，10），（－1，）.【解析】试题分析：（1）把y＝ax2＋2ax＋c配方可得抛物线的对称轴为直线x=1，由此结合已知条件即可求得点C的坐标为（-1，2）；试题解析：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的对称轴为x＝－1．又∵一次函数y=－2x与对称轴交于点C，∴y＝2，∴C点的坐标为（－1，2）．（2）①∵点C

8、与点D关于x轴对称，∴点D的坐标为（－1，－2）．∴CD=4，∵△ACD的面积等于2．∴点A到CD的距离为1，点A是抛物线与直线y=-2x的交点，∴可得A点与原点重合，点A的坐标为（0，0），设二次函数为y＝a(x+1)2－2，∵其图象过点A（0，