专题2.7 以二次函数与圆的问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列（原卷版）

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1、第七关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结

2、合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题

3、时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。【典型例题】【例1】如图24，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6（1）D点的坐标是，圆的半径为；（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；（3）设抛物线的顶点为F,试证明直线AF与圆D相切；（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大面积是多少？并求出点坐标.【答案】（1）（5，4）,5；（2）；（3）证明见解析；（4）存在点N，使面积最小，当a=4时，最大，最大

4、值为16,此时，N（4，-2）【解析】（1）连接DC，则DC⊥y轴，过点D作DE⊥AB于点E，则根据垂径定理可得AE=BE=3，连接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圆的半径，也可得出点D的坐标；（2）利用待定系数法可求出经过C、A、B三点的抛物线的解析式．（3）因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理证明∠DAF=90°即可．（4）设存在点N，过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，求出直线BC的解析式，设点N坐标（a，），则可得点P的坐标为（a，a+4），从而根据S△BCN=S△BPN+S△PCN，表示出△BC

5、N的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N的坐标．解：（1）解：连接DC，则DC⊥y轴，过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，∵AB=6，∴AE=3，在Rt△ADE中，AD==5，故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；（2）解：设经过点A、B、C三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，将三点坐标代入可得：，解得：，故经过C、A、B三点的抛物线的解析式为：y=．（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，抛物线顶点坐标：F（5，），DF=4+=，AF=，∵DA2+AF2=52+（）2==（）2=DF2，∴

6、∠DAF=90°所以AF切于圆D．（4）解：存在点N，使△CBN面积最大．根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=x+4，设N点坐标（a，），过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，可得P点坐标为（a，x+4），则NP=a+4-（）=，故S△BCN=S△BPN+S△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（a2+2a）=16-（a-4）2当a=4时，S△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．【名师点睛】本题考查了二次函数及圆的综合，涉及了垂径定理、抛物线求二次函数解析式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解

7、答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，第四问解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．【例2】已知抛物线经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线的对称轴上找一点H，使△CDH的周长最小，求出H点的坐标并求出最小周长值；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标。【答案】（1）求抛物线的解析式为；（2）H点的坐标(，)，最小周长值是

8、（3）面积的最小值为，E