专题2.6 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题-2018年中考数学备考优生百日闯关系列（第02期）（解析版）

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1、第六关以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。二次函数与特殊平行四边形的综合问题属于初中阶段的主要内容，其主要涉及：二次函数的表达式、二次函数动点问题的讨论、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等）。在中考中，往往作为压

2、轴题的形式出现，也给很多中学生造成了很大的压力。【解题思路】以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．【典型例题】【例1】(天津市河北区2018年中考数学模拟)如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点

3、P为线段BC上的一个动点（P不与B，C两点重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点F，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）（1）当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；（2）设△BCF的面积为S，求S的最大值．【答案】（1）m=2（2）【解析】试题分析：（1）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出

4、D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．（2）可将△BCF分成两部分来求：一部分是△PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出△PFC的面积．一部分是△PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出△PFB的面积．然后根据△BCF的面积=△PFC的面积+△PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．解：（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）令x=0，得到y=3；令y=0，得到﹣x2+2x

5、+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），∴DE=4﹣2=2，∵PF⊥x轴，∴P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；（2）∵B（3，0），∴OB=3，∴S=PF•OB=×3（﹣m2+3m）=﹣（m

6、﹣）2+（0＜m＜3），则当m=时，S取得最大值为．【名师点睛】本题主要考查了二次函数一般式与顶点式的互化，待定系数法求函数关系式，平行四边形的判定，割补法求图形的面积，二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标、对称轴和直线BC的解析式是解题的基础．【例2】(2018湖南省岳阳市十二校一模)如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）点N在线段OA上，点M在线段OB上，且OM=2ON，过点N作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于

7、点P．①当ON为何值时，四边形OMPN为矩形；②△AOQ能否为等腰三角形？若能，求出此时ON的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）①，②或或1﹣.试题解析：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k．∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4；（2）①设ON=t（0＜t＜1）．则OM=2t，PN=﹣（t+1）2+4．∵四边形OMPN为矩形，∴OM=PN，即2t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+4t﹣3=0

8、，解得t=﹣2，由于t=﹣﹣2＜0，故舍去，∴当ON=﹣2时，四边形OMPN为矩形；学科/网②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AOQ为等腰三角形，有三种情况：（I）若OQ=AQ，如答图1所示：则N为OA中点，ON=OA=，∴ON=；设AN=x，则QD=AN•tanA=3x．在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN2+AN2=AQ2，即x2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴ON=1﹣x=1﹣