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1、第二讲勾股定理的应用一、知识回顾1.1勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为e,那么a2+b2=c2・即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。1.2勾股定理的逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形三边同时扩大/缩小相同倍数后，仍然为直角三角形。1.3勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常用勾股数：3、4、5;6、8、10;5、12、13;勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数。二、勾股定理的应用：2.1利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问
2、题转化为直角三角形问题。在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边。【例1】如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？【例2】一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端为7米。(1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米?2.2利用勾股定理求面积利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，把所求得面积转化到已知的数量关系中去，有时
3、还要注意整体思想的应用。【例3】如图，在RtAABC中，ZACB=90°°,以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，Si,S2,S$分别表示这三个正方形的面积，S产81,S3=225,则变式：将dABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积$、£、厲之.间的关系是【例4】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94E【例5】直角三角形周长为12沏，斜边
4、长为5c刃，求直角三角形的面积。2.3勾股定理与方程结合：如果不能直接运用勾股定理求解时，往往通过勾股定理列方程求解。【例6】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将AABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,求CD的长。【例7】为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在一如图9所示M〃所在的宜线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和〃处.C4丄初于A,DB1AB于B、已知//>9=25km,Q=15km,加=10km，试问：阅览室E应建在距M多少km处，才能使它到C、〃两所学校的距离相等？三、勾股定理逆定理的应用：3.1判
5、断垂直【例8】木匠师傅做了一个门框，现在只有一把卷尺，如何确定门框4个角是否都为直角?3.2判断三角形形状【例9】已知卜一12
6、+（y—⑶彳+才―i（）z+25=0，试判断以兀,y,z为三边长的三角形的形状。【例10］如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+200=12^z+16/?+20c,试说明这个三角形是直角三角形。【课后巩固】1.如图，乙0AB=Z0BC=Z0CD=9y,AB=BC=CD=,(M=2,c则OD2=.b2.正方形的面积为18cm2,则正方形对角线长为cm.°A3.在中，Z790。,若肋=5,贝1]AB2+AC2+BC2=.4
7、.一个三角形三边满足(a+b)2-c2=2ab,则这个三角形是三角形.5.直角三角形一直角边为12cm,斜边长为13cm,则它的面积为.6.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为.7.直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是度.8.如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.9.如图，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离(BC有5米.求旗杆的高度.10.如图，一架2.5米长的梯子A
8、B,斜靠在一竖宜的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7VC米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米?
