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《数学归纳法(高三学案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学归纳法复习学案1、用数学归纳法证明命题的步骤为：.①验证当n取第一个值®时命题成立，这是推理的基础;②假设当n=k(^GNk>n0)吋命题成立•在此假设下，证明当n=k+l吋命题也成立是推理的依据.一③结论•.2、探索性问题在数学归纳法中的应用(思维方式)：观察，归纳，猜想，推理论证•.3、特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证=n()时成立，注意®不一定为1；_(2)在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳遐设,尤其要弄清由k到k+1时项的变化(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；(3)由k推导到
2、k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等,表现出数学归纳法“灵活”的一面用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等n(n+1)(2"+1)6题型一：对数学归纳法的两个步骤的认识1、已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(^>2且为偶数)时命题为真，，则还需证明()A.n二k+1时命题成立B.n二k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2(k+2)时命题成立［解析］因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2,故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意
3、观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式/伙）（3）从/伙+1）和/伙）的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子2、用数学归纳法证明不等式丄+丄+..•+丄>127?+1n+2n+n24的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是［解析］求f(k+1)-f(k)即可当n=k时’左边二占+占+…+占"k+1时，左边讣+廿…+（屮：（屮故左边增加的式子是,即!2P+12£+2£+1（2£+1）（2£+2）题型二、证明代数恒等式1、已矢口7疋证明：1一丄+1—丄+•••+—'=」一+—-一+•••+」一23
4、42n-2n〃+1n+22n1.证明:用数学归纳法证明.⑴当斤=1时，左边=1一丄=丄，右边=丄，等式成立；222（2）假设当n=k吋等式成立,即有：I111111112342k-2kk+1k+22k那么当n=k+时，—111I1112342k-l2k2伙+1）-12伙+1）1111111£+1£+22k2£+12伙+1)丄+丄+…+丄+丄+［&+2R+32k2k+1R+12(k+1)1+(£+1)+1伙+1)+2F伙+1)+£伙+1)+(£+1)=右边;所以当"二R+1时等式也成立.综合⑴⑵知对一切朋矿,等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征，在第二步证明当斤=£
5、+1吋向目标式靠拢是关键.变式:是否存在常数a、b、c,使等式1•2?+2•3?+…+讪+1尸=豊;°(an2bn+c)对一切正整数n都成立？证明你的结论。【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=l,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切neN等式都成立d+b+c=24ra=3[解析]把n=l,2,3代入得方程组4a+2b+c=44,解得h=[[9a+3b+c=70c=10猜想：等式1-22+2-32+•••+/2(/2+1)2="⑺+D(3^2+15+10)对一切nwAT都成立12下面用数学归纳法证明：(1)当n=l时，由上面的探求可知等
6、式成立(2)假设n=k时等式成立，即1・22+2・32+・・・+比伙+1)2=以：；1)(3/+1址+10)则1・22+2・32+・・・+心+1)2+伙+1)仇+2)2=座也(3疋+11£+10)+伙+1)伙+2)21邛伙+1)(3鸟*5)仗+2)+伙+1)伙+2)2=伙+1)伙+2)伙(3鸟+5)+丄仗+2)]1112仗+1)伙+2)
7、3伙+])2+]]伙+])+]0]所以当n二k+1时，等式也成立综合(1)(2),对舁wM等式都成立【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳一一猜想证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式题型三、证明不等式1.用数学归纳法证明下述不等式;分析：
8、一般与自然数n有关的不等式问题可以应用数学归纳法来证明，证明过程中特别要主要项的变化.证明：当“二2时，左边=丄+丄+丄+丄=卫>¥=2,3456606010・•・当几=2时,不等式正确;111Q2°.假设当n=k{k>2)不等式正确，即丄+丄+•••+丄〉兰，k+1k+23k10.••当〃二R+1时，左边=—-—I—-—IF――411—P+2R+33k3P+13R+23£+3z1111、1111=(11)H11>k+1£+2k+33k3k+13k+23k+3k+19
