数学归纳法学案.doc

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1、2011年炎陵一中与长沙市一中合作学案制作李春明数学归纳法学案【学习目标】：1．了解数学归纳法的原理；2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【学习重点】：1、通过具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤；2、运用数学归纳法证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。【学习难点】：1.准确理解数学归纳法的实质，特别是了解第二个步骤的作用，如何根据归纳假设作出证明；2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。【学习要点】：一、数学归纳法的原理与步骤证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立

2、；（2）（归纳递推）假设当n=k（k≥n0,k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。注意：（1）这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时的命题是否正确，我们无法判定；同样，只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺乏第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了。（2）用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n=k+1时为什么成立？n=k+1时成立是利用假设n=k时

3、成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明。（3）用数学归纳法可以证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析；例如用数学归纳法证明的单调性就难以实现。一般来说，从n=k时的情形过渡到n=k+1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难。二、如何正确运用数学归纳法用数学归纳法证明要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。注意：（1）验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一

4、个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。（2）递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。（3）正确寻求递推关系数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推关系呢？①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的。②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。③4法国数学家拉普拉斯曾经说

5、过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”2011年炎陵一中与长沙市一中合作学案制作李春明在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚。【基础练习】1、某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A、当n=6时该命题不成立B、当n=6时该命题成立C、当n=4时该命题不成立D、当n=4时该命题成立2、对于等式，某学生的证明过程如下：证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=，等式成立；（2）假设n=k

6、（k∈N*）时有成立，则当n=k+1时，由等差数列前n项和公式，可计算得，所以，当n=k+1时，等式成立。上述证法（）A、过程全都正确B、n=1验证不正确C、归纳假设不正确D、从n=k到n=k+1的推理不正确3、用数学归纳法证明时，第一步即证下述哪个不等式成立（）A、B、C、D、4、用数学归纳法证明的第二步应当是假设当时等式成立，即，那么当n=k+1时，左边1+2+3+…+k+==，4法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”2011年炎陵一中与长沙市一中合作学案制作李春明右边=，故左边=右边，这就是说当n=k+1时，命题仍然成立。所以，命题对所有

7、的自然数都成立。5、利用数学归纳法证明不等式“”时，由“假设n=k时命题成立”到“当n=k+1时”，正确的步骤是（）A、B、C、D、6、，则（）A、B、C、D、【提升练习】1、在数列中，，且成等差数列，成等比数列，，求a2,a3,a4及b2,b3,b4的值，由此猜想的通项公式，并证明你的结论。4法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”2011年炎陵一中与长沙市一中合作学案制作李春明2、（2011湖南）已知