高三数学归纳法

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1、辅导讲义学员编号:年级：高三课时数:学员姓名:辅导科目:学科教师:授课类型T（同步经典题型分析）T（重难点升华）授课日期时段教学内容—、同步知识梳理知识点1:（1）归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。（2）数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=l（或

2、n°）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或且nWN）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。（3）运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+l时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。（4）运用数学归纳法，可以证明下列问题：

3、与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、儿何问题、整除性问题等等。知识点2：1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用.不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练.为此，要注意强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机

4、.2.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可.理解数学归纳法屮的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须要用到n=k时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.二、同步题型分析题型1:用数学归纳法证明等式例1：若f(k)=T+H+…+启一*则〃+】）=〃）+答案：解析：/伙+1）=1—丄+丄一丄+•・•++—2£+12k+22342k-2k2£+12伙+1）所以/伙+1）=/伙）+.2£+12W+2例2:用数学归纳法证明：当时，12+22+3?+…

5、+宀邑也沁・（次）6分析：此题是一个用数学归纳法证明恒等式的常规问题，解题步骤清晰.证明：⑴当川二1时，等式（*）左边=12=1,等式（*）右边Jx（l+l）x（2xl+l）=i,等6式（*）成立.⑵假设n=k（keN*）时，等式（*）成立，即12+22+3?+…+疋=£伙+1）（221）,那么，Z7=R+1时，有12Pc2r9z.2£(£+l)(2R+l).2(k+l)(2R厶+7£+6)l「+2・+3厶+・・・+Zr+(£+l)・=—+(£+l)~=66_(k+1)仗+2)(2k+3)_仗+1)[仗+1)+1][2仗+1)+1]~6-6即当n=k+1时等式(*)也成立.根据⑴⑵，可知对

6、任何nwN*,等式(*)都成立.点评：用数学归纳法证题的重点是第二步中证明n=k+l时结论也成立，且一定要用到假设的条件.例3：是否存在a、b、c使得等式1・22+2・3?+…+,心+1)2=川〃+D(初2+加+c).1解：假设存在b、c使题设的等式成立，这时令77=1,2,3,有彳4=*(a+b+c)22=*(4a+2b+c)70=9a+3b+ca=3Z?=llc=10于是,对n=l,2,3下面等式成立1・22+2・32+・・・+料(/7+1)2=^

7、112(3川2+11〃+10)记S„=l•22+2•32+•••+/?(«+1)2设吋上式成立，即Sy)(3X+1M+10)那么Sr+i=

8、Sr+伙+1)伙+2尸="kJ)伙+2)(3好5)十伙+1)伙+2)2_(k+l)伙+2)(3疋+5好［2£+24)12=仗+罟+2)口伙+i)2+ii伙+i)+io]也就是说，等式对，尸R+1也成立.综上所述，当沪3,戻11,c二10时，题设对一切自然数/?均成立.题型2：用数学归纳法证明不等式例1：用数学归纳法证明“1+丄+丄+・・.+—底N*e>1)时，第一步需要验证的式子232"-1为•答案：1+丄+-<223解