高三数学教：数学归纳法.doc

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1、第一节　数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3

2、.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整

3、除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n有关的命题”都有效.基础题：1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（B）A．时等式成立B．时等式成立C．时等式成立D．时等式成立2．设，则（D）A．B．C．D．3．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（B）A．B．C．D．4．用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是（B）A．B．C．D．5．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当

4、时该命题不成立，那么可推得（C）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）.[证明].当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立；.假设时等式成立，即，∴当时，左边=右边，即时等式成立，根据，等式对都正确.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题：（Ⅰ）求证：能被6整除.[证明].当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；.假设时命题正确，即能被6整除，∴当时，，∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当时命题也正确，由知命题

5、时都正确.例3、（优化设计P202例1）比较2n与n2的大小剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2.下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立.（2）假设n=k（k∈N*，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1）2.∴当n=k+1时，2n＞n2.由（1）（2

6、）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.例4、是否存在常数使a、b、c等式对一切正整数n成立？证明你的结论。剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立.解：分别用n=1，2，3代入解方程组下面用数学归纳法证明.（1）当n=1时，由上可知等式成立;（2）假设当n=k+1时，等式成立，则当n=k+1时，左边=1·［（k

7、+1）2－12］+2［（k+1）2－22］+…+k［（k+1）2－k2］+（k+1）［（k+1）2－（k+1）2］=1·（k2－12）+2（k2－22）+…+k（k2－k2）+1·（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=k4+（－）k2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=（k+1）4－（k+1）2.∴当n=k+1时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立.评述：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例3】（2003

8、年全国）设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N*）.证