材料力学(机械工业出版社)知识小结第七章 应力状态与

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1、第七章应力状态与应变状态分析7–１应力状态的概念一、一点的应力状态：过受力构件内一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态二、为什么要研究应力状态？三、怎样研究应力状态单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、每个平面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。四、普遍状态下的应力表示（图略6）五、剪应力互等定理过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。六、原始单元体（已知单元体）：七、主单元体、主平面

2、、主应力1、主单元体：各侧面上剪应力均为零的单元体。2、主平面：剪应力为零的截面。3、主应力：主平面上的正应力。4、主应力排列规定：按代数值大小，5、三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。6、二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。7、单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。7–2平面应力状态分析——解析法一、任意斜截面上的应力规定：1、sa截面外法线同向为正；2、ta绕研究对象顺时针转为正；3、a逆时针为正。二、极值应力7–3平面应力状态分析——图解法一、应力圆对上述方程消去参数（2a），得：，此方程曲线为圆—应力圆二、应力圆的画法1、建立应力

3、坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）2、在坐标系内画出点A(sx，txy)和B(sy，tyx)3、AB与sa轴的交点C便是圆心4、以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆三、单元体与应力圆的对应关系1、a面上的应力(sa，ta)→应力圆上一点(sa，ta)2、a面的法线→应力圆的半径3、两面夹角a→两半径夹角2a；且转向一致。四、在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例8求图示单元体的主应力及主平面的位置。解法1——图解法：1、主应力坐标系如图2、在坐标系内画出点3、AB的垂直平分线与sa轴的交点

4、C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆解法2—解析法（略35）7–4梁的主应力及其主应力迹线已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：，，主应力迹线：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。xy11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bcd7–5三向应力状态研究——应力圆法1、空间应力状态2、三向应力分析a.弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的

5、一点。b.整个单元体内的最大剪应力为：7–6平面内的应变分析一、位移与应变分量（自：略47，很复杂，而且没什么用）二、任意方向应变公式（自：略49，很复杂，而且没什么用）坐标变换公式（自：略50）二、应变分析图解法——应变圆1、应变圆与应力圆的类比关系：2、已知一点A的应变（），画应变圆a.建立应变坐标系如图b.在坐标系内画出点A(ex，gxy/2)B(ey，-gyx/2)c.AB与ea轴的交点C便是圆心d.以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆三、a方向上的应变与应变圆的对应关系1、a方向上的应变(ea，ga/2)→应变圆上一点(ea，ga/2)2、a

6、方向线→应变圆的半径3、两方向间夹角a→两半径夹角2a；且转向一致。四、主应变数值及其方位，五、应变分析与应变测量测得一点在某一平面内的a1、a2、a3方向上的线应变分别为ea1、ea2、ea3，可求该面内的主应变。i=1,2,3这三个方程求出ex，ey，gxy；然后再求主应变。7–7复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系，，，二、纯剪的应力--应变关系，，三、复杂状态下的应力---应变关系主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:（自：要求不高）主应力与主应变方向一致。