解析几何-三角形面积相关最值问题

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1、²难度：★★²特点：已知高（作为一个限制弦的条件），求弦长的最大值²来源：07陕西高考已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为.（Ⅱ）设，.（1）当轴时，.（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为.由已知，得.把代入椭圆方程，整理得，，..当且仅当，即时等号成立.当时，，综上所述.当最大时，面积取最大值.²难度：★★²特点：椭圆已知，直线过定点（由椭圆定），求三角形

2、面积的最大值²来源：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.解：设椭圆方程为（I）由已知得所求椭圆方程为（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由消去y得关于x的方程：由直线l与椭圆相交A、B两点，△，解得，又由韦达定理得.原点O到直线l的距离所以，所求直线方程为：.解法2：令，则，.当且仅当即时，此时.所以，所求直线方程为.解法二：由题意知直线l的斜率

3、存在且不为零.设直线l的方程为，，则直线l与x轴的交点由解法一知：且解法1：解法2：²难度：★★²特点：椭圆差一个条件，直线过定点（由椭圆定），已知三角形面积的最大值确定椭圆²来源：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程.解：由＝得，所以椭圆方程设为设直线，由得：设，则是方程的两个根由韦达定理得所以＝当且仅当时，即轴时取等号所以，所求椭圆方程为²难度：★★²特点：椭圆方程已知，直线过定点，已知面积确定直线²来源：已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2点在

4、该椭圆上。（I）求椭圆C的方程；（II）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程。²难度：★★★²特点：将三角形面积表示为某个变量的函数²来源：石室高2015届周练2014-4-10如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点（1）求点P的轨迹H的方程（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0

5、的面积最大？解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x＝，原点距l的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0

6、大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），

7、DF

8、＝1设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S＝

9、y1

10、＋

11、y2

12、＝

13、y1－y2

14、设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝令t＝k2＋1³1，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。