解析几何中的面积最值问题.doc

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1、面积问题与最值问题1.统一的思路：主要以斜率k为变量2.关键是面积是如何表示？三角形或四边形1）三角形面积：2）四边形面积：3）椭圆压缩成圆求解例1（2007安徽）设是抛物线的焦点．（I）过点作抛物线的切线，求切线方程；（II）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．例2[2011湖南理]如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB,△MDE的面积分别

2、是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。例3[2012年高考（浙江理）]如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程.例4（2012年高考（广东理））(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.例6[2009湖北理]过抛物线的对称轴

3、上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。（Ⅰ）当时，求证：⊥；（Ⅱ）记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。例7已知双曲线C的方程为21世纪教育网离心率顶点到渐近线的距离为（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.巩固与练习：1．如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（I）求r的取值范围；（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。2．已知椭圆：的长轴长为4，离

4、心率为，、分别为其左、右焦点，一动圆过点，且与直线相切。（I）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹C的方程；（II）在曲线C上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值。8DFByxAOE3．椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（I）若，求的值；或（II）求四边形面积的最大值．【拓展】椭圆方程为，直线与椭圆相交于，直线AB：与椭圆相交于点，求四边形面积最大值，并求此时的值．1．（2007全国I卷）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（I）设点的坐标为，证明：；（II）求四边形的面

5、积的最小值．5.已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为6.（2009全国Ⅱ，16）已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为7.已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，的面积为。（1）试将表示成的函数，并指出它的定义域；（2）求的最大值，并求取得最大值时的值。8.（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.9．[2012杭州高考数学二模]已知抛物线其焦点到直线的距离.（1）求抛物线的方程（2）若的三个顶点在

6、抛物线上，顶点B的横坐标为1，且直线的倾斜角互为补角，过点分别作抛物线的切线，两切线相交与点，当面积为4时，求直线的斜率。