解析几何中的最值问题.ppt

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1、解析几何中的最值问题●解析几何中求最值问题的基本方法函数的思想方法判别式法利用基本不等式数形结合法参数法建立几何模型定义法例1、椭圆上过点A（0，1）引椭圆的任意一条弦AB.求：弦长的最大值。YXOBA（0，1）圆设B（x，y）为椭圆上的一点。例1、椭圆上过点A（0，1）引椭圆的任意一条弦AB。求：弦长的最大值。设B（x，y），则。∵B（x，y）在椭圆上，代入得：解题思路:解：函数的思想方法YXOBA（0，1）把代入,得出关于y的二次函数，配方后求出的最大值。YXOABC例2、直线x+y-3=0和抛物线y2=4x交于A、B两点。在抛物线AOB上求一点C，使△ABC

2、的面积最大。DD解方程组例2、直线x+y-3=0和抛物线y2=4x交于A、B两点。在抛物线AOB上求一点C，使△ABC的面积最大。解：直线L到直线AB的距离为最大，也是点C到直线AB的距离最大。当m=1时，设L：x+y+m=0与直线AB：x+y-3=0平行且为抛物线的切线。点C为切点。判别式法YXOBALC把m=1代入得：例3、直线L过点P（2，1），它在两坐标轴上的截距均为正值，若截距之和最小，求L的方程。设：点斜式方程YXOLBA解：利用基本不等式例4、已知：实数x、y满足。求：的最值。此时，直线与圆相切。由得当取最小时,S取最大值。为直线在y轴上的截距。圆心

3、（1、-2）到直线的距离等于YXO.解：数形结合法例4、已知：实数x、y满足。求：的最值。解：设圆的参数方程{Θ∈[0，2π）将其代入得：∵Θ∈[0，2π）参数法A1YXOA(1，0)B(3，0)x-y+1=0PP1例5、在直线x-y+1=0上找一点p，使p点到点A（1，0），B（3，0）的距离之和最小。数形结合法例5、在直线x-y+1=0上找一点p，使p点到点A（1，0），B（3，0）的距离之和最小。如图，设A1（x，y）是点A关于直线x-y+1=0的对称点。易知：要在直线上找一点p到点A1，B的距离之和最小，此点应是直线A1B与直线的交点。则：{A1（-1，2

4、）A1(-1，2)YXOA(1，0)B(3，0)x-y+1=0P解：A1(4，2)YXOA(1，5)B(8，3)x-y+1=0PP1例6.在直线x-y+1=0上找一点p，使p点到点A（1，5）、B（8，3）的距离之差的绝对值最大。数形结合法YXOL例7、求椭圆上点P到直线L：y=2x-10的距离的最大值与最小值。L2L1参数法数形结合法当直线与圆相切时，斜率取到最值。设：圆心：（2，0）半径：解:YXO例8、已知方程:求：满足这个方程的实数对（x，y）中，的最值。数形结合法建立几何模型：例9、求：使S最小的x与y的值。可设：四个根号的几何意义分别为点P（x，y）到

5、点O（0，0）、A（1、0）、C（0，1）、B（1，1）四点的距离。原来的问题化归为：求到正方形四个顶点距离之和最小的点。易知：到A、C两点距离之和最小的点在线段AC上。到O、B两点距离之和最小的点在线段OB上。YXOABC分析：由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离。建立几何模型：解：∴所求的点就是AC与OB的交点PPM’提示：例10、求函数的最大值。设y=x2(为抛物线)“抛物线y=x2上的动点M(x，y)到两个定点A(4，3)、B(0，2)的距离之差的最大值。”易知：YXOBAM建立几何模型：例11.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到焦点F与到点A(3

6、,2)的距离之和最小.PQlAXyOF定义法yxMAPFO思考:已知点，F是椭圆的左焦点，一动点M在椭圆上移动，则

7、AM

8、+2

9、MF

10、的最小值为_____.10定义法用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。对于解析几何中的极值问题的解决首先应注意函数方法（参数法）的运用，将所求对象表示成某个变量的函数，利用代数方法来解决。作为几何中的最值问题，往往利用平面几何知识或图形意义，采取数形结合或不等式的方法求解，可以避开代数形式的复杂运算。反过来，通过建立坐标系，构造图形也可使某些不易处理的代数极值问题得到解决。小结注意！