解析几何中面积最值问题的常见解题策略.pdf

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1、解题技巧与方法JIETIJIQIAOYUFANGFA93解析几何中面积最值问题的常见解题策略解析几何中面积最值问题的常见解题策略◎刘彬(江苏省镇江第一中学212000)解析几何一直是高考考查的热点和难点问题，综合程111所以，1∈(0，18]，所以4(2－度高，强调“几何图形代数化与代数结果几何化”，而面积最4k2+4+102值问题的考查与研究是解析几何中一个重要方向，在平时k的教学过程中应引起足够的重视，现笔者试从例题入手介1)∈[16，2]．219绍常见的几种解题策略，以期抛砖引玉．4k+4+102k策略一:借助于基本不等式求解面积最值问题16例1(2011年卓越联盟自主招生1

2、3)已知椭圆的两个综上所述，S四边形PMQN的最小值为9，最大值为2．焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x－槡3相切．评注本题作为卓越联盟自主招生的13题，考查学生(1)求椭圆的方程;的数学综合能力，解决本题最值问题时通过选取k为变量，(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交变量选取，建立目标函数利用基本不等式求最值．2于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．例2已知抛物线y=4x的顶点O，点A(5，0)，倾斜角2x2π析(1)略椭圆方程为+y=1．为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线24(2)若PQ斜率不存在(

3、或为0)时，则S=于M，N两点，求使△AMN面积最大的直线l的方程，并求四边形PMQN△AMN的最大面积．1

4、PQ

5、·

6、MN

7、2槡2×2槡1－2析对于△AMN的面积，可利用线段

8、MN

9、的长及点A==2．22到直线l的距离d来表示，而表达式是关于b的函数，再考1虑求函数的最值即可．若PQ斜率存在时，设为k(k≠0)，则MN为－．k设直线l的方程是y=x+b．所以直线PQ方程为y=kx+k．设PQ与椭圆交点坐标∵直线与线段OA相交，∴－5＜b＜0．为P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由方程组y=x+b2+(2b－4)x+b2=0．{2x消去y得x2y=4x22+y=1，2+1)x2+

10、4k2x+2k2∵Δ=(2b－4)2－4b2=16(1－b)＞0，联立方程{化简得(2ky=kx+k．∴直线l与抛物线必有两个交点，设为M(x1，y1)，N－2=0．(x2，y2)．22则由弦长公式可得－4k2k－2则x1+x2=2，x1x2=2．2k+12k+1

11、MN

12、=槡1+1

13、x1－x2

14、=槡2槡16(1－b)．25+bb+5所以

15、PQ

16、=槡1+k

17、x1－x2

18、设点A到直线l的距离为d，则d==．槡1+1槡22422槡(1+k)［16k－4(2k－1)(2k+1)］=12∴S=MNd=2槡1－b(b+5)，2k+1△AMN22=2槡2k+1．22b+5b+52k2+1S△AM

19、N=4(1－b)(b+5)=16(1－b)≤2223k+1b+5b+5同理可得

20、MN

21、=2槡22．1－b++2+k2216=128．

22、PQ

23、·

24、MN

25、(k2+1)2(3)所以S四边形PMQN=2=422=(2+k)(2k+1)b+5∴当1－b=，即b=－1时，面积的最大值为8槡2，12242kk+2k+1121此时直线的方程为y=x－1．4=4－=4－42242)22k+5k+2(2k+5k+2(评注本题体现出解析几何在知识网络的交汇点设计问题的特点，根据题设条件建立目标函数，发现解析式特2k=41－1．征，创造条件用均值不等式求最值是解决这类问题的典型42)21)4k+10k+4

26、(24k+4+10策略之一．2k策略二:借助于导数求解面积最值问题因为4k2+41+10≥24k2·4+10=18(当且仅当例3(2012年浙江文科22)如图，在直角坐标系xOy22k槡k12k2=1时取等号)．中，点P(1，2)到抛物线C:y=2px(p＞0)的准线的距离为数学学习与研究2014.19解题技巧与方法94JIETIJIQIAOYUFANGFA251－2m+2m．点M(t，1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段d=．设△ABP的面积为S，42槡1+4mAB被直线OM平分．122则S=AB·d=1－2(m－m)·槡m－m．(1)求p，t的值．22(2)求△ABP

27、面积的最大值．由Δ=4m－4m＞0，得0＜m＜1．析本题主要考查了抛物线的几何性212令t=槡m－m，0＜t＜，则S=t(1－2t)．质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解2析几何的基本思想方法和运算求解能力．设S=t(1－2t2)，0＜t≤1，则S'=1－6t2．2在解决(2)中面积最值问题时目标函数的最值可以通过换元求最值．2=0，得t=槡61，所以S=槡6．由S'=1－6t6∈(0，2]max92pt=11p=(1)由题意得p5，得2．故△ABP面积的最大值为槡