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《初中数学竞赛辅导：代数式的恒等变形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、代数式的恒等变形例题1：设踏(兀)三八3兀3+2疋+3无+6,计算1•5・9••(4n・3)•/⑴•/⑸•/⑼/(4介3)的值3・7・11・(4介1)・/⑶・/(7)・/(11)*解：首先我们将/(兀)因式分解:/(x)=(x+2)(x4-2x3+x2+3),再令x4~2x3+x2+3二(兀?+q+1)(兀?+加+3)二兀°+(a+b)x3+(ab+4)F+(3a+b)x+3a+b二2=><6zZ?+4=1a=,h=-3所以/(x)=(x+2)(x2+x+l)(x2-3x+3)3a+b=0所以xf(x)=x(x+2)(jt2+兀+1)(是3兀+3)=[(兀・1)+
2、1][(x・l)2-(x-l)+l2・[(x+l)+1][(x+l)2・(x+l)+12]=[(x-l)3+1][(无+1『4-1]所以1•5•9••(4m3)•/⑴•/⑸•/(9)/(亦3)(4n-l)./(3)-/(7)-/(l1)/(4n-l)_1/(1)•5/(5)•9/⑼(4介3)/(4介3)"3/(3).7/(7).11/(11)~~(4n-l)/(4n-l)(O3+1)(23+1)[43+1](63+1)(W+1)(1()3+1)((4n-4)3+1)((4介2『+1)(23+1)(43+l)(63+l)(83+l)(103+l)(123+1)((4介
3、2『+1j((4”+1)03+l_1((4n『+l)64/+1定理1:设an=Axn+ByeAT),贝l擞歹U{q?}满足递推式az：+2=(x+^)^+I-xy^证明：LHs=(x+y)a/l+}-xyan=(x+y)(Ax11^4-By,,+l)-xy(Ar,?+Byn)=Ax,l+2+By,,+2即色+2=(X+EK+
4、刃"这个就称为牛顿等幕公式注：只要知道d],°2，那么我们就可以知道色4，。5‘。6其中任何一项当然针对三元和多元的我们也能得到同样这样完美的式子：定理2：设Q“与te"%牛GSN)*，则"血-*奖丸Q)肿”证：我们从左边证明匕+3二ArH
5、+3+砂呵+Cz'Z=(x+y+z)(Ar/:+2+By,i+2+Czn+2)-Azxn+2-Bxyn+2-Cyzw+2-Cxzn+1-Bzy,l+2・旳#辺二(兀+尸乙)陽+2-xy(+Byn+l)-yz(Byn+]+Cz,,+1)-zx(心网4-Cz,,+l)=(x+y+z)an+2-(x)^+yz+xz)(Axn+1+Byn+[+Cz,,+I)+Cx)^/,+1+Ayzxn+l+Bzxy,1+l=(x+y+z)o“+2-(xy+yz+xz)a“+]-^xyz(Ar"+By"+Cz")=(x+y+z)atl+2・(xy+w+xz)aft+{+xyzatl得证1L
6、V12丫1°+丫640-2例：已知XVO,且兀•丄二a/L求代数式门
7、0*2。°的值解：对要求的式子变形得（分子分母除以f）:X7+X1-(x5+x5)+x+x'1X1+X1-(x5+x'5)+(疋+x'3)xl2-x10+兀&+尢4-x°+x'2x12-x10+x8+x2-x0+x-2想方法由x•丄二a/5（x<0）,求出1丫XX丿由定理1:an+2=(x+x1)an+lk+2x-x^a=-3a^-anX^rX*yX3+X"3,兀55,X7+F7的值即可根据上面分析，可考虑递推计算法，令色"，+亡，由4丄二亦，又xvO,得X+4兀•丄二3,°2=卫+无¥兀+护-2
8、所以：—3a2-6Z(—3x7-(-3)—18,a4—3^-a2—3-(-18)-7=47a5—3a4q—3•47-(-l8)—123a6=-lz5=-(3)123-z①二3^6q=-3•322-(-123)二843故严啦”+卡+十定+严=*7+才7・(”+才5)+卄扌二分％+坷=・843+123・3二241x,2-xI04-x8+x2-x0+%-2-兀7+才7.(牙5+才5)+(牙3+才3)-羽5+°3--843+123-18-269例2：已知x+y+z=1,x2+y2+z2=2,x3+b+z3二3,求f+y5+z5的值解：设d”=x"+y"+z",贝1^=14=
9、2,03=3我们由定理2得：an+3=(x+j+z)an+2-(A^+yz+xz)an+1^xyzcin,只要求小+yz+xz,xyz的值1I因为(x+y+z)=x2+y2+z2+2(xy^jz+xz)=>xy^+yz+xz=-—又由注意到/+y3+z‘-3x)^z=(x+y+z)(x2+于+z2-xy-yz-xzj故xyz=—6所以色+3二％+2+£匕冲+；色所以^4=^+-^2+76ri=3+o*2+Z=T262626611251c1…/.a.=ad+—a.+—a^=——+—x3+—x2=654236-626・••x5+y5+z5=6例3：设实数a,b,c,
