初中数学竞赛专题讲座(一)-整式的恒等变形

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1、维普资讯http://www.cqvip.com题讲座(一)的恒等变形◆天津余凤冈对上述公式要注意变形、灵活运用。例1已知X—Y=2，X+Y：4，求+_y的值析解：将X—Y=2两边平方，得X一2xy+Y=4．将上式与X。+Y：4比较，可得xy：0。汤姆的妈妈抱怨说，她虽然既有电视机又有电冰箱，却没有东西可以放入冰箱。于是，汤姆提议道：“为什么不把电视机放在冰箱里面，那不就什么都齐全了?”维普资讯http://www.cqvip.com：6=兄会使计算复杂．我们可用对称式来求值．已知X+y=1①，X+y：=2②．

2、①：一②，得2xy=一1．即xy=一．·3+．．y=(+y)一3y(+y)=1—3×(一)×1=，4+y=(：+y2)一2x2Y=2一2×(一)：=，7+y=(3+y)(4+y4)一y3(+y)=5×7一(一)×135171+‘侈3已知(2006一X)(2004一X)=2005，求(2006一X)+(2004一X)：的值．析解：通过观察发现已知条件为ab=c的形式，且a—b=(2006一X)一(2004一X)=2，而要求值的式子为a!+b!，因此可以直接用变形的公式a+b=(a—b)+2ab来解．即(2006一

3、X)+(2004一X)=[(2006一X)一(2004一X)]：+2(2006一X)(2004一X)=2+2×2005=4014．例4已知a+b+c=0，a：+b+c。=1，求a+b+c的值．析解：欲求a+b+c的值，不难想到a+b+c=1两边平方：a+b+c+2(ab：+bc+ca)=1，原题转化为求ab+bC2+c口的值，又想至U(ab+6c+ca)=口b+b：c：+ca：+2(abc+口bc。+a2bc)=a：b+bc+ca。+2abc(a+b+c)．由于a+b+c=0，所以(ab+6c+ca)=a2b+

4、bc+c口．原题即而转化为求06+6c+ca的值，由此想到对a+b+c=0两边平方：a：+b+c：+2(ab+6c+ca)=0．驾车旅游的女士站在希腊一处古迹的倒地石柱前拍纪念照。“千万别把汽车拍进去，”她大声说，“不然我丈夫一定会说是我把柱子给撞倒的。”．维普资讯http://www.cqvip.com‘+Cn：c+C2n)解：(1)++l=一。+：++1=：(—1)(+X+1)+X+．1=(：++1)(X一：+1)．．(2)X5++1=X+X+X一+l=X(X：++1)一(X—1)(X+X+1)=(++1)

5、(X一X+1)．畎说明：对于X+X+l这种式子的因式分解，只要m，几分别被3除余l和2，则必有因式+X+1．如分解X+X+1，由于1O和5被3除分另1】余1和2，所以必有因式X+X+l，于是就有了下面的方法：X’。+X+l：(X’。+X+X)一(X+X+X)+(X+X+X)一+l=X(X+X+1)一X(X+X+1)+X(X+X+1)一(X—1)(X+X+1)(X+1)=(+X+1)[X一X+一(X—1)(X+1)]～=(++1)(X一X+一X+X一X+1)．侈Ⅱ6分解因式：X+64y+l2X!y2—1．析解：因

6、为x=(X)，64，，=(4y2)，一l=(一1)，12xy2=一3·X·4v·(一1)，所以可用n+b+c一3abc的分解公式．原式=(X)+(4y)+(一1)一3·X·4y·(一1)=(X+4_y一1)[(X)+(4y)：+(一1)一X·4y一X·(一1)一4·(一1)1=(X+4y一1)(X+16y+l一4x_y+X+4y)．例7求证：xy(3X+2)(5y+2)可化为具有整系数的两个多项式的平方差．证明：设两个多项式分别为4、B，则4一B=X(3X+2)(5y+2)．瘦弱的小毛虫被麻雀小姐发现了，小毛虫

7、连忙哀求道：“请不要吃我，我可以告诉你我同伴的住处，它们比我肥美得多呢!”麻雀小姐答道：“不必了，我正在减肥。”说罢便把小毛虫一口吃掉了。维普资讯http://www.cqvip.com=兄即(A+)(A—B)=(3v+21一)(51一十2)①不妨设fA+B3Y+2Y，L』4一B=5xy+2．②藿(①+②)÷2，得』4=4v++y，(①一②)÷2，得B=一y—X+，．』4、即为所求的整系数多项式．说明：A、B不唯一，如一A、一B也符合条件．侈u8已知：(一5)，求(+1)(+2)(+3)(+4)的值析解：将=(

8、一5)变形为2+5=j．两边平方，得4!+20+25=33．且口+5=2．·．．(+1)(+2)(+3)(+4)=[(+1)(+4)][(+2)(+3)]=(+5+4)(+5+6)=(2+4)×(2+6)=48．侈q9已知十一1：3，求+33—16+3一17的值’-解法一：十一1：3．：．．．X3一1·+3X3—16+3一17．．=(3一1)+3(3一1)一16+3一17=9X2—6+