整式恒等变形.doc

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1、第8讲整式恒等变形主旨概括专题简介把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫作代数式的恒等变形．代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用．整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，既是代数式恒等变形的基础，又有独特的复杂性和技巧性．常用方法和技巧：降幂迭代法，因式分解，配方法，乘法公式等等．模块分类1．恒等变形→降幂迭代与换元．2．恒等变形→因式分解与不定方程．3．恒等变形→配方法．4．恒等变形→乘法公式．学习目标1．理解恒等的概念．2．熟悉恒等变换常见题型和常用技巧．3．强化整体思想和

2、逻辑推理能力．考点分析考点汇总考试频率对应例题对应练习题恒等变形→降幂迭代☆☆☆☆☆例1练1恒等变形→大除法☆☆☆☆☆例1、2练1、2恒等变形→换元☆☆☆例3练3恒等变形→因式分解☆☆☆☆例4~7练4~7恒等变形→配方法☆☆☆例8~10练8~10恒等变形→乘法公式☆☆☆☆例11~14练11~14拓14模块一　　恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一　降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4

3、x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．【练2】当x－y＝1时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．题型三换元法强化挑战【例3】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2．【练3】已知x，y，z为有理数(y－z)2＋(z－x)2＋(x－y)2＝(y＋z－2x)2＋(x＋z－2y)2＋(x＋y－2z)2

4、，求的值．模块二恒等变形→因式分解与不定方程题型一因式分解基础夯实【例4】(1)已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于________．(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝________．【练4】(1)若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋…＋x2012＝__________．(2)已知15x2－47xy＋28y2＝0，求的值．强化挑战【例5】已知：a、b、c为三角形的三条边，且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0，求证：2b＝a＋c．【练5

5、】(1)在三角形ABC中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b，c是三角形的三边，求证：a＋c＝2b．(2)已知△ABC三边a、b、c，满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．题型二不定方程【例6】(1)方程xy－2x－2y＋7＝0的整数解(x≤y)为___________．(2)已知a＞b＞c≥0，求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011的整数a，b，c的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y均为整数，且满足x－y－x2

6、＋2xy－y2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x，y满足x≥y≥1和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_______．【练7】当x变化时，分式的最小值是________．模块三恒等变形→配方法【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．【练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x

7、－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．

8、(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋