代数式的变形[初中数学竞赛专题讲座（26份初中数学竞赛教程）]

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1、学科:奥数教学内容：代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1．配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1 设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-

2、bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.解 ∵a为x2-3x+1=0的根,∴a2-3a+1=0,,

3、且=1.原式说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5若,试比较A、B的大小.解设则.∵2x＞y∴2x-y＞0,又y＞0,可知 ∴A＞B.4.

4、设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6若求x+y+z的值.解令则有  x=k(a-b),y=(b-c)kz=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值.解 设a+b+c=k则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由条件知即   ∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.∵a2+b2+c2=1,∴k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3a

5、b2+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0,就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1）分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将

6、一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8证明对于任意自然数n，分数皆不可约.证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.而    显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.（2）表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例9已知求证:.证明  6.其他变形例10已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______

7、.解  x2=x(x+1)-x或 x2=x(x-1)+x例11设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)  解得 x=3. y=10.  ∴  d-b=y3-x5=7571.选择题（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）（A）2        （B）3         （C）6           （D）7      （E）8（2）已知则的值是（ ）.(A)1     (B)0