【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第2章《代数式》竞赛专题复习

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1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第2章代数式2.1整式的运算2.1.1★化简，其中为大于1的事数．解析原式．评注本例可推广为一个一般的形式：．2.1.2★计算（1）；（2）．解析（2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式．（2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用公式，但与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方公式了．原式．2.1.3★设，，求用去除所得的商及余式．解析1用普通的竖式除法2018年初中数学竞赛辅导专题讲义因此，所求的商，余式．解析2用待定系数法由于为3次多项式，首项系数为1，而

2、为次，首项系数为3，故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式，余式．根据，得．比较两端系数，得解得，，，故商式，余式．2.1.4★已知当时，代数式的值为4，求当时，代数式的值．解析比较两个代数式，发现它们的相同与不同．当时，．2.1.5★若，且，试求的值．解析，，代入2018年初中数学竞赛辅导专题讲义得，故，，所以．2.1.6★★试确定和，使能被整除．解析由于，因此，若设，假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即，①当时，，即，②由①，②联立，则有2.1.7★若，求的值．解析，所以，．．2.1.8★将表示成的形式．解析．2.1.9★已知，求的值．解析1

3、由，有．解析2由，有．评注解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．2018年初中数学竞赛辅导专题讲义这两种方法在整式恒等变形中常用．2.1.10★★已知，，，求的值．解析因为，所以，所以．所以．2.1.11★★若，，求的值．解析把两个方程相加，得，于是有，故或．2.1.12★★★已知，．求的值．解析因为，所以，从而．所以．．故．2.1.13★★已知，，，求多项式的值．解析由2018年初中数学竞赛辅导专题讲义，又因为，，，故原式．2.1.14★★已知实数、、、满足，，求的值．解析由，得．因为，所以．因而，．2.1.15★★已知，试求的值．解析多项式的系数和，就是．．2.1.16

4、★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除．解析设这个二次三项式为．则①③得代入②、③得④⑤得，代入⑤得．所求二次三项式为．2018年初中数学竞赛辅导专题讲义2.1.17★未知数、满足，其中、表示非零已知数，求、的值．解析两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为，，即．所以因为，所以，．2.1.18★★已知、、满足，求证：．解析因为，所以左边右边．2.1.19★已知，证明．解析因为，所以，即，2018年初中数学竞赛辅导专题讲义因此，即．2.1.20★证明：．解析此题看起来很复杂，但仔

5、细观察，可以使用换元法．令，①，②，③则要证的等式变为．因为，所以将①，②，③相加有，所以，所以．2.1.21★★已知，且、、、都是正数，求证：．解析由已知可得，，所以．因为，，，所以，所以．又因为、、、都为正数，所以，，所以，．所以，2018年初中数学竞赛辅导专题讲义所以．故成立．2.1.22★★已知，求证．解析用作差法，注意利用的条件．左右．所以等式成立．2.2因式分解2.2.1★分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．解析（1）原式．（2）原式．（3）原式．本小题可以稍加变形，解法如下：2018年初中数学竞赛辅导专题讲义原式．（4）原式．2.2.2★分解因式：．解析1

6、原式．解析2原式．评注解析2中，是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．2.2.3★★分解因式：．解析原式中与的和等于，所以考虑用立方和公式变开后，再进行分解．原式2018年初中数学竞赛辅导专题讲义．2.2.4★★分解因式：．解析原式3评注．显然，当时，则；当时，则，即，而且，当且仅当时，等号成立．如果令，，，则有．等号成立的充要条件是．这也是一个常用的结论．2.2.5★★分解因式：．解析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项开始，的次数顺次递减到0，由此想到应用公式来分解．因为，所以原式．评注在本题分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很

7、常用．2.2.6★分解因式：．2018年初中数学竞赛辅导专题讲义解析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．方法1将常数项8拆成．原式．方法2将一次项拆成．原式．方法3将三次项拆成．原式方法4添加两项．原式．评注由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．2.2.7★★分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．解析（1）将拆成．