【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第2章《代数式》竞赛专题复习

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1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第2章代数式2.1整式的运算2.1.1★化简,其中为大于1的事数.解析原式.评注本例可推广为一个一般的形式:.2.1.2★计算(1);(2).解析(2)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数,所以可考虑应用平方差公式,分别把相同项结合,相反项结合.原式.(2)的结果是,这个结果与多项式相乘时,不能直接应用公式,但与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方公式了.原式.2.1.3★设,,求用去除所得的商及余式.解析1用普通的竖式除法2018年初中数学竞赛辅导专题讲义因此,所求的商,余式.解析2用待定系数法由于为3次多项式,首项系数为1,而

2、为次,首项系数为3,故商必为1次,首项系数必为,而余式次数小于2,于是可设商式,余式.根据,得.比较两端系数,得解得,,,故商式,余式.2.1.4★已知当时,代数式的值为4,求当时,代数式的值.解析比较两个代数式,发现它们的相同与不同.当时,.2.1.5★若,且,试求的值.解析,,代入2018年初中数学竞赛辅导专题讲义得,故,,所以.2.1.6★★试确定和,使能被整除.解析由于,因此,若设,假如能被整除,则和必是的因式,因此,当时,,即,①当时,,即,②由①,②联立,则有2.1.7★若,求的值.解析,所以,..2.1.8★将表示成的形式.解析.2.1.9★已知,求的值.解析1

3、由,有.解析2由,有.评注解析1是应用拆项法;解析2是应用降次法.2018年初中数学竞赛辅导专题讲义这两种方法在整式恒等变形中常用.2.1.10★★已知,,,求的值.解析因为,所以,所以.所以.2.1.11★★若,,求的值.解析把两个方程相加,得,于是有,故或.2.1.12★★★已知,.求的值.解析因为,所以,从而.所以..故.2.1.13★★已知,,,求多项式的值.解析由2018年初中数学竞赛辅导专题讲义,又因为,,,故原式.2.1.14★★已知实数、、、满足,,求的值.解析由,得.因为,所以.因而,.2.1.15★★已知,试求的值.解析多项式的系数和,就是..2.1.16

4、★★求一个关于的二次三项式,它被除余2;被除余8;并且被整除.解析设这个二次三项式为.则①③得代入②、③得④⑤得,代入⑤得.所求二次三项式为.2018年初中数学竞赛辅导专题讲义2.1.17★未知数、满足,其中、表示非零已知数,求、的值.解析两个未知数,一个方程,对方程左边的代数式进行恒等变形,经过配方之后,看是否能化成非负数和为零的形式.将已知等式变形为,,即.所以因为,所以,.2.1.18★★已知、、满足,求证:.解析因为,所以左边右边.2.1.19★已知,证明.解析因为,所以,即,2018年初中数学竞赛辅导专题讲义因此,即.2.1.20★证明:.解析此题看起来很复杂,但仔

5、细观察,可以使用换元法.令,①,②,③则要证的等式变为.因为,所以将①,②,③相加有,所以,所以.2.1.21★★已知,且、、、都是正数,求证:.解析由已知可得,,所以.因为,,,所以,所以.又因为、、、都为正数,所以,,所以,.所以,2018年初中数学竞赛辅导专题讲义所以.故成立.2.1.22★★已知,求证.解析用作差法,注意利用的条件.左右.所以等式成立.2.2因式分解2.2.1★分解因式:(1);(2);(3);(4).解析(1)原式.(2)原式.(3)原式.本小题可以稍加变形,解法如下:2018年初中数学竞赛辅导专题讲义原式.(4)原式.2.2.2★分解因式:.解析1

6、原式.解析2原式.评注解析2中,是因式分解中经常用到的一个结论,记住这个结论是必要的.2.2.3★★分解因式:.解析原式中与的和等于,所以考虑用立方和公式变开后,再进行分解.原式2018年初中数学竞赛辅导专题讲义.2.2.4★★分解因式:.解析原式3评注.显然,当时,则;当时,则,即,而且,当且仅当时,等号成立.如果令,,,则有.等号成立的充要条件是.这也是一个常用的结论.2.2.5★★分解因式:.解析这个多项式的特点是:有16项,从最高次项开始,的次数顺次递减到0,由此想到应用公式来分解.因为,所以原式.评注在本题分解过程中,用到先乘以,再除以的技巧,这一技巧在等式变形中很

7、常用.2.2.6★分解因式:.2018年初中数学竞赛辅导专题讲义解析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.方法1将常数项8拆成.原式.方法2将一次项拆成.原式.方法3将三次项拆成.原式方法4添加两项.原式.评注由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.2.2.7★★分解因式:(1);(2);(3);(4).解析(1)将拆成.

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