【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第6章《函数》竞赛专题复习

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1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第6章函数6.1函数及其图像6.1.1★已知，求．解析1令，则，带入原式有，所以．解析2，所以6.1.2★★若函数，，求．解析只要将满足的值求出来，然后代入即可．，所以，．因此6.1.3★已知函数，其中、为常数．若，求．解析由题设所以．6.1.4★★函数的定义域是全体实数，并且对任意实数、，有．若，求．解析设，令代入已知条件得，即对任意实数，恒有，所以，所以．6.1.5★★若对任意实数，总有意义，求实数的取值范围．解析欲使总有意义，令则或，对任意实数均成立，于是问题等价于（1）712018年初中数学竞

2、赛辅导专题讲义（2）（3）由（1）解得：，或；由（2）解得：不存在；由（3）解得：．于是实数的取值范围为，或．6.1.6★★若的定义域为一切实数，求的取值范围．解析由题意的定义域为一切实数，即对任意实数，恒有．若，则，，与题意不符；当时，二次函数的充要条件是得．因此，的取值范围是．6.1.7★★反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图像只能是（）．解析通过分析函数图像的特征，例如的图像过一定点（，0），或者通过函数图像讨论常数的正负逐步淘汰三个选择项，得出结论．函数的图像过顶点，而在（A）中直线不过点，故淘汰（A）中直线不过点，故淘汰（

3、A）．在（D）中，直线左高右低，因此；双曲线在Ⅰ，Ⅲ象限，则，712018年初中数学竞赛辅导专题讲义，导致矛盾．故淘汰（D）．在（C）中，仿前，从直线看，；从双曲线看，，也导致矛盾．故淘汰（C）．故选（B）．6.1.8★★函数的图像与轴交点的横坐标之和等于_________．解析原问题可转化为求方程①的所有实根之和．若实数为方程①的根，则其相反数也为方程①的根．所以，方程的所有实根之和为0，即函数的图像与轴交点的横坐标之和等于0．6.1.9★★直线过点、，直线过点，且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图．设此三角形的面

4、积为，求关于的函数解析式，并画出图像.解析因为过点，所以，即．设与轴交于点，则点的坐标为，且（这是因为点在线段上，且不能与点重合），即．，故的函数解析式为．6.1.10★★已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于．设梯形的面积为，梯形中较短的底的长为，试写出梯形面积关于的函数关系式．解析设矩形的长大于宽的2倍．由于周长为12，故长与宽满足，．由题意，有如下两种情形：712018年初中数学竞赛辅导专题讲义（1）如图，这时，，，所以，，=，其中（这由

5、得出）．（2）当时，由于，故，这时，．由，得，所以=，其中（这由得出）．6.1.11★★已知二次函数，且方程与有相同的非零实根．（1）求的值；（2）若，解方程．解析（1）设的两根为、，且，则，．于是，的两根为、，且．所以，，即．因此，712018年初中数学竞赛辅导专题讲义（2）由（1）得．又，则，解之得或，于是，的两组解为或6.1.12★★如果函数对任意实数，都有，求，，之间的大小关系．解析对任意实数成立，因此的图像的对称轴是．的图像是开口向上的抛物线，因此当时，随着的增大而增大．于是有．但由对称性知，故．6.1.13★如图所示，、分

6、别表示一种白炽灯和一种节能灯费用（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间的函数图像．假设两种灯的使用寿命都是，照明效果一样．（1）根据图像分别求出、的函数关系式；（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明，他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？解析（1）设直线的解析式为．由图像得，解得．所以，的解析式为．设直线的解析式为．由图像得，解得．所以，的解析式为．（2）当时，两种灯的费用相等，这时有，解得，所以，当照明时间为时，两种灯的费用相等．（3）当时，，所以他买节能灯省钱．6.1.14★★712018年初中数学竞

7、赛辅导专题讲义通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣渐增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分赛．学生注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图像如图所示（越大表示学生注意力越集中）．当时，图像是抛物线的一部分，当和时，图像是线段．（1）当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否讲过适当安排。使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．解析（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图像经过点、、，所以

8、解得，，，．所以，．（2）当时，所以，当时，令，得，解得，（舍去）；当时，令，得，解得．因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．6.2一次函数6.2.1★★四一次函数，（1）