【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第7章《三角函数》竞赛专题复习

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1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第7章三角函数§7．1锐角三角函数7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：（1）与；（2）与；（3），，和．解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将化，再与比大小．因为，而，所以．（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们的大小．，再将，分别与，比大小．因为，，所以，所以．（3），显然，均小于1，而，均大于1．再分别比较与，以及与的大小即可．因为，所以．因为，所以，所以．评注比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较

2、角的大小来确定三角函数值的大小．（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如，，的三角函数值．7．1．2★化简求值：（1）；（2）；（3）；（4）；262018年初中数学竞赛辅导专题讲义（5）若求的值．解析（1）原式=．（2）原式．（3）原式．（4）原式=．（5）原式．评注同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．7．1．3★试证明在锐角三角

3、形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．解析在锐角三角形里，显然有，所以有．由于在~范围内，当增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道．同理可以证明其他的五组．7．1．4★下列四个数中哪个最大：A．B．C．D．解析显然，0

4、已知，求的值．解析由两边平方得．又，所以，得．评注（1）当已知与之间和或差的值时，常常考虑运用转化问题．（2）总结此题解答过程，该问题实际上是读者都熟悉的问题：已知，求的值．这里用三角函数式、来替代、，变化了一下问题的形式．因此，在解题时，弄清问题的本质是非常重要的．7．1．8★已知为实数，且、是关于的方程的两根．求的值．解析由根与系数的关系知．则有．7．1．9★★设、是一个直角三角形的两个锐角，满足．求及的值．解析由于，故由互余关系得．262018年初中数学竞赛辅导专题讲义因此条件即为，①将上式平方，得，由正、余弦的平方关系，即有，所以，因、均为正数，故．因此由上式得

5、，②由①、②得，，故．评注本题也可如下解答：由①得，两边平方，得，③因，代入上式并整理，得，④解得．因，故只有．由此及①得．7．1．10★若存在实数和，使得求实数的所有可能值．解析把两式相加，得，解得，或（舍去）．当时，，满足方程．故．7．1．11★★已知关于的一元二次方程的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数的值．解析设方程的两个实根、分别是直角三角形的锐角、的正弦．则，262018年初中数学竞赛辅导专题讲义又，，所以．化简得，解得或23．检验，当时，；当时，．所以．评注本题是三角函数与一元二次方程的综合，基本解法是利用韦达定理和列方程求解．要注意最后检验方

6、程有无实数根．7．1．12★★已知方程的两根是直角三角形的两个锐角的正弦，求．解析根据韦达定理，有并且由于其两根是直角三角形的两个锐角的正弦，所以又有．于是有．解得．7．1．13★★★若直角三角形中的两个锐角、的正弦是方程的两个根；（1）那么，实数、应满足哪些条件？（2）如果、满足这些条件，方程的两个根是否等于直角三角形的两个锐角、的正弦？解析（1）设、是某个直角三角形两个锐角，、是方程的两个根，则有．①由韦达定理，,．又，，于是，．由于．所以，，所以，262018年初中数学竞赛辅导专题讲义即．由①得，则．故所求条件是，，．②（2）设条件②成立，则，故方程有两个实根：，

7、．由②知，又，所以，故．又，故．所以，、为直角三角形两个锐角的正弦．评注一般地，有，．即在中，，．7．1．14★★已知方程的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求的值．解析设题中所述的两个锐角为及，由题设得因为，故①式两边平方，并利用恒等式，得．262018年初中数学竞赛辅导专题讲义再由②得，解得．由，及②知．所以．7．1．15★★不查表，求的四种三角函数值．解析、、这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．如图所示．在中