【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第27章《极端原理》竞赛专题复习含答案

《【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第27章《极端原理》竞赛专题复习含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第27章极端原理27.1.1**两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？解析本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．评注

2、本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：1．有限个数中一定有最大数和最小数；2．无限个正整数中有最小数；3．无限个实数不一定有最大数或最小数．27.1.2**在一次乒乓球循环赛中，（≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手、、，使得胜，胜，胜．解析没取胜场数最多的一名选手为，由于没有一个选手是全胜的，所以在这名选手中存在一名选手，胜．考虑击败的选手的全体，其中必

3、有选手胜．事实上，若的手下败将也都负于，那么胜的场数比胜的场数至少要多1，这与是获胜场数最多的选手矛盾．所以，存在三名选手、、，使得胜，胜，胜．27.1.3**平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析997个点中每两点都有一个距离，因而共有个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设是最大的距离．分别以、为圆心，为半径作圆，如图所示．点与除点之外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上；点与除点外的995个点的连线的中点在圆的内部或

4、边界上，这样我们得到了995+995＝1990个红点．另外，的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：，，，…，，，故红点恰有1991个．27.1.4**证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．解析如图所示，在凸五边形中，一共有5条对角线：、、、、102018年初中数学竞赛辅导专题讲义，所以其中一定有一条是最长的，不妨设最长．由于是凸四边形，设与的交点为，则．因为

5、最长，所以，、、这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．27.1.5*平面上给定3个点。已知其中任意两点的距离不超过1，证明：这3个点被一个半径为等的圆覆盖．解析设三点为、、，不妨设，，当≥时．易知以删为直径的圆可覆盖（此圆半径≤≤<），当时，为锐角三角形，设外心为在内部．由于，故外接圆半径，故结论成立．27.1.6***平面上给定2005个点，任意两点距离小于2005，任意三点是某个钝角三角形的顶点．求证：存在直径不超过2005的圆覆盖这2005个点．解析在这2005个点中，设两两之间距离最大的两点是、且．则以为直径的圆覆盖了这

6、2005个点．这是因为，如图分别过、作垂线、，则给定的点不能在直线、围成的带形之外．否则这点到点（或）距离大于，这与的最大性矛盾．同时，给定的点也不能在带形内部的圆外．否则，这点与、不构成钝角三角形，与已知条件矛盾．故结论成立．评注此例是组合几何问题中的一类覆盖问题．这些问题的解决往往需借助于极端原理的思想．27.1.7**平面上给定个点，其中任意三点都至少有两点距离小于l，证明：可以找出其中个点位于半径为1的圆内．解析考虑距离最远的两个点、．以、为圆心、半径为l作两个圆，若有点在这两个圆外或边上，则、≥1，于是由条件知只能有

7、，与的定义矛盾，因此没有点在这两个圆外或边上．于是由抽屉原理，至少有个点在其中一个圆的内部．102018年初中数学竞赛辅导专题讲义27.1.8***在平面上任给个点，其中任意三点不共线，并把其中”个点染成红色，个点染成蓝色．求证：可以一红一蓝地把它们连成条线段，使这些线段互不相交．解析因为总共只有个点，将红点与蓝点一一配对的方法只有有限种（实际上为种，即第一个红点可与个蓝点中的某一个配对，有种可能，第二个红点与剩下的个蓝点中的某一个配对，有种可能……第个红点与剩下的一个蓝点配对，有1种可能）．对于每一种配对方法，都会得到这条线段的

8、长度和，这种和数只有有限个（其实不超过个），所以其中必有一个是最小的，下证这时候条线段是互不相交的．用反证法．假定此时有两条线段和相交，其中、是红点，、是蓝点，设它们的交点为（如图）．由于，所以，当我们将与配对，与配对，其他的保持不变，这时候条线段