【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第25章《染色问题》竞赛专题复习含答案

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1、2018年初中数学竞赛辅导专题讲义第25章染色问题25.1.1★★圆周上等间距地分布着27个点，它们被分别染为黑色或白色．今知其中任何2个黑点之间至少间隔2个点．证明：从中可以找到3个白点，它们形成等边三角形的3个顶点．解析我们将27个点依次编号，易知它们一共可以形成9个正三角形(1，10，19)，(2，11，20)，…，(9，18，27)．由染色规则知，其中至多有9个黑点．如果黑点不多于8个，则其中必有一个正三角形的所有顶点全为白色．如果黑点恰有9个，那么由染色规则知，它们只能是一黑两白相间排列，其中也一定有一个正三角形的所有顶点全为白色．25．1．2★★某班有50位学生，男女各占一半，他

2、们围成一圈席地而坐开营火晚会．求证：必能找到一位两旁都是女生的学生．解析将50个座位相间地涂成黑白两色，假设不论如何围坐都找不到一位两旁都是女生的学生，那么25个涂有黑色记号的座位至多坐12个女生．否则一定存在两相邻的涂有黑色标记的座位，其上面都坐着女生，其间坐着的那一个学生与假设导致矛盾．同理，25个涂有白色标记的座位至多只能坐12个女生，因此全部入座的女生不超过24人，与题设相矛盾．故命题得证．25.1.3★在线段的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在线段中间插入个分点，在各个分点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为个不重叠的小线段，这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段．求证

3、：标准线段的个数是奇数．设最后一个标准线段为．若，则仅有一个标准线段，命题显然成立；若，由、不同色，则必与同色，不妨设与均为红色，那么在和之间若有一红蓝的标准线段，必有一蓝红的标准线段与之对应；否则不能为红色，所以在和之间，红蓝和蓝红的标准线段就成对出现，即和之间的标准线段的个数是偶数，加上最后一个标准线段，所以，和之间的标准线段的个数是奇数．25．1．4★★能否用面积为的一些长方块将的棋盘覆盖?解析如图中标上1～4这些数，显然每个1×4的长方块各占1、2、3、4一个，于是如果可以覆盖，则1、2、3、4应一样多，但1有25个，2则有26个，矛盾!因此不能覆盖．1234123512234123

4、4123341234123441234123411234123412132018年初中数学竞赛辅导专题讲义2341234123341234123441234123411234123412234123412325.1.5★★12个红球和12个蓝球排成一行，证明：必有相邻的6个球三红三蓝．解析将这些球标上数字，红球标1，而蓝球则标上，于是问题变为：必定有6个相邻的球其标数之和为．记从第个球起的6个数字和为，于是可取1，2，…，19．易知的全部取值为、、、0、2、4、6，且或2(可以认为以2或、0的步长“连续”变化)．由，知若四数中有0，则结论成立，否则必有正有负．不妨设，，，{1，7，13，19

5、}，于是必存在一个，在与之间，．25．1．6★如图，把正方体形的房子分割成27个相等的小房间，每相邻(即有公共面)两个房间都有门相通，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小房问走到与它相邻的小房间中的任何一问去．如果要求甲虫只能走到每个小房间一次，那么甲虫能走遍所有的小房间吗?解析甲虫不能走遍所有的小房间．我们如右图将正方体分割成27个小正方体(每个小正方体表示一问房间)，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色．显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的．甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色．故它走2

6、6步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体．因此在26步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次．由此可见，如果要求甲虫到每一个小房间只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小房间．25.1.7★★3行9列共27个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色．试证：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式完全一样．解析第一行的9个方格中必有5格同色(抽屉原理)，不妨设这5个方格位于前五个位置，且都为红色．下面考虑前五列构成的3×5小矩形．第二行的五格中必有3格是同色的，不妨设这三格位于前三个位置．接着考虑前三列构成的3×3方阵，该方阵前两行的每列完全一样．对第三行，用两种颜色染色时，三列中必有两

7、列同色，不妨设是前两列．此时前两列的涂色方式完全一样．红红红红红132018年初中数学竞赛辅导专题讲义25.1.8★★如图()，是由14个大小相同的正方形组成的图形，证明：不论如何用剪刀沿着图中直线进行剪裁，总剪不出七个由相邻两个小正方形组成的矩形来．解析如图()涂色．若有一种剪法能剪出七个相邻两个小正方形组成的矩形，则每个矩形一定由一个涂色小正方形和一个不涂色小正方形构成．因此，应该有七个涂色小正方形和七个