代数式和恒等变形

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1、第5讲爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的

2、形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或（右边≠O)”，可得左边d右边．4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1求证：对同底数幂进行合并整理，解方法一：左边=右边，方法二：左边右边故左边=右边．方法一中受右边的提示，对左边式子进行合并时，以与为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手1-1．已知求证：1-2．已知证明：

3、1-3．证明：题2经研究，这个问题的一般结论是其中，n为整数，现在我们来研究一个类似的问题：观察下面三个特殊的等式：将这三个式子两边相加（累加），可得读完这段材料，请您思考回答：=（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：解(2)由类比思想知……则在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中记若则的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如(1)根据对上述

4、式子的观察，你会发现请写出所表示的数；(2)进一步思考，单位分数(n是不小于2的正整数）=请写出所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知都是正数，试比较M与N的大小．题3已知互不相等，求证本题可设然后求解．解设则故以上三式相加，得即本题运用了连比等式设参数k的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读一题，练1题，决出能力高下3-1．已知则题4证明本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解令则原待证恒等式转化为联想到公式由①+②+③，得故即原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．

5、读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l的各项幂表示4-2．已知且求证：4-3．解方程：题5设x,y,z互为不相等的非零实数，且求证：由于结论为的形式，可以从题设式中导出x，y，z乘积的形式xy，yz，zx解由变形可得则同理可得由①×②×③，得本题中x，y，z具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x，y为互不相等的非零实数，且易推出故有所以三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x，y，z满足则xyz=5-2．已知求的值．5-3．已知实数a，b，c，d互不相等，且试求x的值，题6已知由待证式知要从

6、题设条件中消去y．解由已知，得两式相乘，得即所以故综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由到发现要消去y这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知求的值．6-2．设其中不为零．求证：6-3．已知a，b，c，d满足求证：参考答案与提示