代数式的恒等变形

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1、代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用例1、已知ab=1，求的值[解]把ab=1代入，得===1　　例2、已知xyzt=1，求下面代数式的值：　　　　分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．　　解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．　　同理　　　练习：二、配方法例1、若实数a、b满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求之值。[解]∵a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2)

2、=(ab-1)2+(a-b)2则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴解得当a=1，b=1时，=1+1=2当a=-1，b=-1时，=1+1=2例1 设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)24=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2设x、y

3、、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.练习：求证：三、因式分解法　　例6已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．　　证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，　　(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，　　所以　　(a2-

4、b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．　　因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以　　a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，　　所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．　　又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以　　a＝b，c=d．　　所以　　ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，　　所以a＝c．故a=b＝c=d成立．例4已知

5、a

6、+

7、b

8、=

9、ab

10、+1，求a+b之值[解]∵

11、a

12、+

13、b

14、=

15、ab

16、+1∴

17、a

18、·

19、b

20、-

21、a

22、-

23、b

24、+1=

25、0(

26、a

27、-1)(

28、b

29、-1)=0

30、a

31、=1

32、b

33、=1∴a=±1或b=±1.则当a=1，b=1时，a+b=2当a=1，b=-1时，a+b=0当a=-1，b=1时，a+b=0当a=-1，b=-1时，a+b=-2[评注]运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。练习：证：4四.换元例4设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m

34、-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0练习：求证：　　2．比较法　　a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．　　例3求证：　　　　分析用比差法证明左-右=0．本例中，　　　　这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则

35、可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．　　证因为　　　　　所以　　　　所以　　　　说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．　　全不为零．证明：　　(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．　　　　同理4　　　　所以　　　　　　　　　　所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．　　3．分析法与综

36、合法　　　　证要证a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证　　a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，　　只要证ab=ac+bc，　　只要证c(a+b)=ab，只要证练习：4.设参当已知条件以连比的