高中数学第一章三角函数11任意角和蝗制例题与探究新人教A版必修4

《高中数学第一章三角函数11任意角和蝗制例题与探究新人教A版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、1.1任意角和弧度制典题精讲例1一条弦的长度等于半径「求：（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：解决此类问题，要首先根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为n3,然后用公式求解即可.7T解:⑴如图1-1-1,因为半径为r的00中，弦AB=r,则ZXOAB为等边三角形，所以ZA0B=-.3TT则弦AB所对的劣弧长为一r.3I(2)VSaaob=-OA・OB・sinZAOB^—r2,24S朋形OAB二—

2、ar2=-X712—Xr=:n6r2,223712V32/71爲、2・：S弓

3、形二S煽形OAB-"SaaoiF—r_r2=(---——)r2.6464绿色通道：图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例要把弓形看成是扇形与三角形的差，即可运用已有知识解决要求解的问题•此类数形结合的题目，要尽可能地从图中各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.变式训练地球赤道的半径是6370km,所以赤道上的1'弧长是（精确到0.01km）.思路解析：由于在弧长公式中圆心角的单位是弧度，所以首先将1’化为弧度，还要注意地球赤道的半径就是地球的半径.I7T1TT1’二一X―弧度，弧长l=r

4、□1=6370X一X——^1.85km.60

5、18060180答案：1.85km（y例2（2005全国高考卷III,1）已知a为笫三象限角，则—所在的象限是（）2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限rvyr思路解析：根据a的取值范围，确定匕的取值范围•因为第三象限角与--n之间的角并22不等价.由Q在第二象限，a应在区间(2k兀+兀，2k兀+—)(kWZ)内，即2k兀+n

6、，对此特殊情况应特别指出.如a=45°,2a=90°就不再是象限角.(2)在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图1-1-2來记忆•图中I、II、III、IV分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如：当a为第一象限ry角时，匕为第一、第三象限角的前半区域；当a为第二彖限角时，兰为第一、三彖限角22的后半区域.依此类推.AXj"iv/兀图1-1-2a黑色陷阱：应避免以下错误：由a是第二彖限角，仅想到90°Va<180。,由45。<-<90°得出a2为第一象限角，而将仝中第三象限角丢掉.2变式训练1已知单位圆上一点A(l,

7、0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过()(0

8、以表示为2kn+a(kEZ)的形式，注意题目中说的a是锐角•根据题意列出方程解出«,这一方法也体现了在三角函数屮“方程思想”的应用.解：由题意，有10a二2k兀+a(keZ),Aa=(keZ).丈:a为锐角，所以k可以取1,2两个值，即a=40°或a=80°.例3已知扇形的周长为20cm,当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？思路分析：根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形的面积表示成半径的函数，利用求函数最值的方法求解.解：设扇形的圆心角为()，半径为r,扇形的弧长1二r().20—2厂1122

9、0—2f/、八A2r+r0=20,.ASr~0=-r2.二r(10-r)二—F+lOr.r22r当r=二5时,S扇形最大=25,此时0=2.2x(-1)答：当扇形半径为5,圆心角为2时，扇形面积最大.绿色通道：儿何图形求最值的途径有两条：一是利用儿何意义，从图形中直接找出(本例不好找)；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.变式训练一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是弧度，扇形的面积是.思路解析：设扇形的圆心角是9弧度，则扇形的弧长是r9,扇形的周长是2r+r0.由题意，可知2r+r

10、0=rn,.・.0=n-2(弧度).扇形的面积为S二丄0•r2=-r2(n-2).22答案：—2丄r2(n-2)2问题探究