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《高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制例题与探究 新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1任意角和弧度制典题精讲例1一条弦的长度等于半径r，求:(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：解决此类问题，要首先根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为π3，然后用公式求解即可.解：(1)如图1-1-1，因为半径为r的⊙O中，弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=.则弦AB所对的劣弧长为r.图1-1-1(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2,S扇形OAB=
2、α
3、r2=××r2=π6r2,∴S弓形=S扇形OAB
4、-S△AOB=r2-r2=(-)r2.绿色通道：图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例要把弓形看成是扇形与三角形的差，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从图中各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.变式训练地球赤道的半径是6370km,所以赤道上的l′弧长是_________（精确到0.01km）.思路解析：由于在弧长公式中圆心角的单位是弧度，所以首先将l′化为弧度，还要注意地球赤道的半径就是地球的半径.l′=×弧度，弧长l=r
5、α
6、=6370××≈1.85km.答案：
7、1.85km例2(2005全国高考卷Ⅲ，1)已知α为第三象限角，则所在的象限是（）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限思路解析：根据α的取值范围，确定的取值范围.因为第三象限角与—π之间的角并不等价.由α在第三象限,α应在区间(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z)内，即2kπ+π＜α＜2kπ+kπ+π2＜α2＜kπ+3π4,当k为偶数时，α2在第二象限;当k为奇数时，α2在第四象限.答案：D绿色通道：（1）由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指
8、出.如α=45°，2α=90°就不再是象限角.（2）在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图1-1-2来记忆.图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如：当α为第一象限角时，为第一、第三象限角的前半区域；当α为第二象限角时，为第一、三象限角的后半区域.依此类推.图1-1-2黑色陷阱：应避免以下错误：由α是第二象限角，仅想到90°＜α＜180°，由45°＜＜90°得出α2为第一象限角，而将中第三象限角丢掉.变式训练1已知单位圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，
9、1秒钟时间转过θ（0＜θ≤π）角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合，求θ角的弧度数.思路分析：这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题，首先要根据题意画出坐标系，然后按照题中描述表示出角的范围,再进行计算.解：由0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π，又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ≤.由14θ=2kπ(k∈Z)，可得2θ=(k∈Z).所以π＜＜,即＜k＜.所以k=4或5,则θ=或.变式训练2若锐角α的终边与它的10倍角的终边相同，求α.思路分析：与角α终边相同的角均可以表示为2kπ+α(k∈
10、Z)的形式，注意题目中说的α是锐角.根据题意列出方程解出α，这一方法也体现了在三角函数中“方程思想”的应用.解：由题意，有10α=2kπ+α(k∈Z)，∴α=(k∈Z).又∵α为锐角，所以k可以取1，2两个值,即α=40°或α=80°.例3已知扇形的周长为20cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？思路分析：根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形的面积表示成半径的函数，利用求函数最值的方法求解.解：设扇形的圆心角为θ,半径为r，扇形的弧长l=rθ.∴2r+r
11、θ=20,θ=.∴S扇形=r2θ=r2.=r(10-r)=-r2+10r.当r==5时，S扇形最大=25,此时θ=2.答：当扇形半径为5，圆心角为2时，扇形面积最大.绿色通道：几何图形求最值的途径有两条：一是利用几何意义，从图形中直接找出（本例不好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决.变式训练一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是____________弧度，扇形的面积是____________.思路解析：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是
12、rθ，扇形的周长是2r+rθ.由题意，可知2r+rθ=rπ，∴θ=π-2（弧度）.扇形的面积为S=θ·r2=r2(π-2).答案：π-2r2(π-2)问题探究问题1在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角是多大？导思：解答此类问题时，要考虑到问题的多种情况，不要上来就盲目地解答，首先对问题有个大体的了解，然后再调动
