《递推公式求通项公式—构造等差数列》进阶练习（三）

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1、《递推公式求通项公式—构造等差数列》进阶练习一．选择题1.已知数列{an}中，a1=25，4an+1=4an-7（n∈N*），若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（　　）A.15     B.750     C.7654     D.70522．已知曲线C：y=1x(x＞0)及两点A1（x1，0）和A2（x2，0），其中x2＞x1＞0．过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3（x3，0），那么（　　）A.x1，x32，x2成等差数列     B.x1，x32

2、，x2成等比数列C.x1，x3，x2成等差数列     D.x1，x3，x2成等比数列3.设an=（n+1）2，bn=n2-n（n∈N*），则下列命题中不正确的是（　　）A.{an+1-an}是等差数列       B.{bn+1-bn}是等差数列C.{an-bn}是等差数列       D.{an+bn}是等差数列二．填空题4．数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），又a1=5，则使得{an+λ3n}为等差数列的实数λ=______．三．解答题5．已知数列{an}的首项为a1=3

3、，通项an与前n项和sn之间满足2an=Sn•Sn-1（n≥2）．（1）求证：数列{1Sn}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}中的最大项．参考答案1.C．2.A．3．D．4．．5．（1）由2an=Sn•Sn-1（n≥2），得2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1．所以（n≥2），所以是等差数列；（2）由（1）知，，所以，当n=1时，a1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，∴；（3）由a1，a2，a3及n≥3时an的单调性知：是最大项.解析1.【分析】本题考查了数列递推

4、式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数最值的求法，是中档题．由已知递推式得到数列{an}为等差数列，写出等差数列的前n项和公式，由二次函数最值的求法结合n∈N*求Sn的最大值．【解答】解：由4an+1=4an-7，得：，即．∴数列{an}是以a1=25为首项，以为公差的等差数列．∴=．∵n∈N*，∴当n=15时，．故选C． 2．【分析】本题主要考查直线方程的求法，点的坐标的求法以及等差关系的确定问题，是对基础知识的考查，属于基础题目．先求出B1，B2两点的坐标，进而得到直线B1B2的方程，再令y

5、=0求出x3，即可得出结论．求解．【解答】解：由题得：），B2（）．∴直线B1B2的方程为：y-=（x-x1）⇒y-=-（x-x1）．令y=0⇒x=x1+x2，即x3=x1+x2，故选A．3．【分析】本题重点考查了等差数列的概念和判断方法等知识，属于基础题．首先，结合已知条件，然后，根据选项逐个进行判断．【解答】解：对于选项A：∵an=（n+1）2， ∴an+1-an=（n+2）2-（n+1）2=3n-3，设Cn=3n-3，∴Cn+1-Cn=3，∴{an+1-an}是等差数列，故选项A正确；对于选项B

6、： ∵bn=n2-n（n∈N*），∴bn+1-bn=2n，设Cn=2n，∴Cn+1-Cn=2，∴{bn+1-bn}是等差数列；故选项B正确； 对于选项C： ∵an=（n+1）2，bn=n2-n（n∈N*），∴an-bn=（n+1）2-（n2-n）=3n+1，设Cn=an-bn=3n+1，∴Cn+1-Cn=3，∴{an-bn}是等差数列，故选项C正确；对于选项D：∵an=（n+1）2，bn=n2-n（n∈N*），∴an+bn=（n+1）2+（n2-n）=2n2+n+1，设Cn=an+bn ，∵Cn+1-

7、Cn不是常数，∴选项D错误.故选D．4．【分析】此题考查学生运用等差数列的性质进行化简求值，会利用数列的递推式进行化简．学生做题时应利用消元的数学思想化简求值．因为数列为等差数列，设bn=，则2bn=bn-1+bn+1，根据数列的递推式化简可得λ的值即可．【解答】解：设bn=，根据题意得bn为等差数列，即2bn=bn-1+bn+1，而数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），可取n=2，3，4，得到+=2，而a2=3a1+32-1，a3=3a2+33-1=3（3a1+32-1）=9a

8、1+33-3，代入化简得λ=-．故答案为-．5．【分析】本题考查利用数列递推公式求数列通项、等差数列的定义及其判断等知识，属中档题．（1）把2an=Sn•Sn-1（n≥2）中的an化为Sn-Sn-1，然后两边同除以Sn•Sn-1．结合等差数列定义可证；（2）由（1）可求得Sn，根据即可求得{an}的通项公式；（3）根据n≥3时an的单调性及前三项即可求得最大项.【解答】解:（1）由2an=Sn•Sn-1（n≥2），得2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1．