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时间:2019-05-23
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1、利用递推公式求通项公式一、基本类型已知数列的首项和递推公式,可直接写出数列中的各项,可用待定系数法、累加法、累乘法、迭代法等求通项,也可以通过构造转化法化成新的等差、等比数列再进一步求通项构造等比数列,已知首项,如果递推关系形如“,其中为常数”,求数列的通项公式的关键是将转化为的形式,其中的值可由待定系数法确定,即.1.已知首项且递推关系形如“”可以用“累加法”即:,则有:.2.已知首项且递推关系形如“”可以用“累乘法”或“迭代法”,即.3.对于形如“,其中为常数”的递推关系式,可采用取倒数的方法,将递推公式变形为,从而构造等差数列,其首项为,
2、公差为.4.对于形如“,其中为常数”的递推关系式,一般利用待定系数法构造新数列.①若为的一次式,则可令,即令,与已知递推公式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列.②若为的二次式,则可令,下同①.③若为的指数式,即:(其中均为常数,)解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以得引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法求解.5.对于形如“”的数列,往往要通过分析与的关系,整理变形成或的形式来求解.6.递推公式为“(其中均为常数)”,的数列,先把原递推公式利用待定系数法转化为,再进行求解.7.形如“”的数列,一般是等式两边取对数后转化为,再利用待
3、定系数法求解.8.形如(其中为常数)的递推关系式,求数列通项通常采用常数消去法,或者不动点法.不动点法:若,则称为函数的不动点.令函数,若数列满足递推关系,即,给定初始值,利用函数的不动点来求数列的通项公式.①若函数有两个相异的不动点,即方程有两个相异实根,则有数列是以为首项,为公比的等比数列.②若函数只有唯一的不动点,则方程只有唯一解,则有数列是以为首项,以为公差的等差数列.9.形如“,其中为常数”的数列也可以利用函数的不动点来求解通项.③若函数有两个不动点,即方程有两个不同的根,则有,上式两侧取对数,构造等比数列求解.④若函数只有唯一一个不
4、动点,即方程只有唯一一个根,则数列是以为首项,以为公比的等比数列.10.递推公式为与的关系式。(或)这种类型一般利用与消去或与消去进行求解.二、基本题型1.根据下列条件,确定数列的通项公式.⑴;⑵;⑶;⑷;⑸设是首项为1的正项数列,且;⑹已知数列中,,数列中,,当时,,求.2.在数列中,(为常数,),且成公比不为1的等比数列.⑴求的值;⑵求的通项公式.1.已知数列满足,求.2.已知正数数列中,,若关于的方程有相等的实根.⑴求的通项公式;⑵求证:.5.在数列中,.⑴求证数列是等比数列;⑵求数列的前项和;⑶若不等式对任意的都成立,求的最小值.
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