6、小&满足
7、cos〃
8、=
9、cos〈阻电〉
10、,二面角的平面角大小是向量①与门2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥PYBCD中，底面ABCD是矩形，丹丄底面ABCD,E是尸C的中点.已知48=2,40=2迈，R4=2.求:("PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.p［解析］⑴因为R4丄底面ABCD,CDu平面&BCD,所以R4丄CD.乂AD丄CD,PAHAD=A,所以CD丄平面PAD,又PDu平面PAD,从而CDA.PD・因为PD=3+（2迈）2=2品CD=2,所以ZPCD的面积
11、为扌X2X2羽=2羽.P⑵法一如图1,取PB中点F,连接EF,AF,则EF//BC,从而ZAEF（或其补角）是界面直线BC与AE所成的角.在Z^EF中，由于EF=y/i,AF=yji,AE=^PC=2.所以AF2+EF2=AE2,ZAFE=90°,则AAEF是等腰直角三角形，JI所以ZAEF=~^.因此，异面直线BC与&E所成的角的大小是才.法二如图2,建立空间直角坐标系，则3（2,0,0）,C（2,2品0）,E（l,迈，1）,AE=（lf逗,1）,BC=（0,2迈，0）.设应与荒的夹角为为则AE•BC4a/2一」兀cos忒帚茹胃考'所以片亍JI由
12、此可知，异面直线与/IE所成的角的大小是才.【类题通法】⑴利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量"，P2：③代入公式
13、cos<1?1,02〉
14、=求解•(2)两异面直线所成角的范围是号,两向量的夹角a的范围是［0,n］,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】将边长为1的正方形人州0】0(及其内部)绕00］旋转一周形成圆柱，如图，处长为1n—ji—，长为亍，其中％与C在平面人州010的同侧.(1)求
15、三棱锥C—OrArBi的体积；(2)求异而直线BxC与A&i所成的角的大小.［解析］⑴连接&迢1，因为&迢1=亍,ji・・Z0/迢1—=3，••△O/iB］为正二角形,・1•。羽••Sao141b1~2°•。1民•sin60=4•1=3X1X4=12'.1••-^c-o141b1=3•001*Sao1a1b1・・・三棱锥C—0/iB］的体积为眷.C⑵以0为坐标原点建系如图，则人(0,1,0),州(0,1,1),o,1),bTc=(o,ffAA±•B^cAcos〈AAi，BQ=AAi\B^C X0+0X(—1)+1X(—1)迈_1X^/O2+(
16、-1)2+(-1)2_21itTJI・•・异面直线B{C与AAX所成的角为才.考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥P-ABCD中，刃丄底面4BCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,R4=EC=4,M为线段AD±一点，AM=2MD,N为PC的中点.⑴证明M/V〃平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.2［解析］⑴证明由己知得AM=^AD=2.1取BP的中点门连接的，TN,由/V为PC中点知TN//BC,TN=^BC=2.又AD//BC,故TN統AM,所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT.因为A7
17、U平面阳3,M/VQ平面％B,所以M/V〃平面R4B.xyz.⑵解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC^AE1BC,从而AE丄AD,HAE=y]AB2-BE2=AB2~[^=y[5.以&为坐标原点，症的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系人一,1,2,PM=(0,2,由题意知，P(0,0,4),M(0,2,0),C(址，2,0),-4),PN=jn-PM=0,设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量，贝ijf2y-4z=0,Bina/
18、可取n=(0,2,1).n-PA/=0,I2x+y-2z=0,匚曰ig
19、"丽8托尸疋Icos〈门，A
20、N)I——”•\AN所以直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为響.【类题通法】利用向量法求线面角的方法：(1)分别
