2019高考数学 考点突破——空间向量与立体几何：空间向量及其运算学案

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1、空间向量及其运算【考点梳理】1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有

2、序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b

7、2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

8、a

9、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【考点突破】考点一、空间向量的线性运算【例1】如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)＋.[解析](1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)因为M是AA1的中点

10、，所以＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，所以＋＝＋＝a＋b＋c.【类题通法】1．选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.【对点训练】如图，三棱锥O－ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)A．(－a＋b＋c)B．(a＋b－c)C．

11、(a－b＋c)D．(－a－b＋c)[答案]B[解析]＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c).考点二、共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.[解析](1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为＝－＝－＝(－)＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【类题通法】1．证明空间三点P，A，B共线的方法①＝λ(λ∈R)；②对空

12、间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法①＝x＋y；②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；③∥(或∥或∥).3．三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【对点训练】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋).(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.[解析](1)由已知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－).即＝＋＝－－，∴，，共面.(2)由(1)知，，共面且过同一点M.∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.考点三、空间向量数量积的

13、应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.[解析](1)设＝p，＝q，＝r.由题意可知，

14、p

15、＝

16、q

17、＝

18、r

19、＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos60°＋a2co