2019高考数学 考点突破——空间向量与立体几何：立体几何中的向量方法（二）求空间角学案

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1、立体几何中的向量方法（二）求空间角【考点梳理】1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝cosθ＝

2、cosβ

3、＝2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ

6、满足

7、cosθ

8、＝

9、cos〈n1，n2〉

10、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A．B．C．D．[答案]C[解析]建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ

11、＝＝＝.【类题通法】1．利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；③代入公式

12、cos〈v1，v2〉

13、＝求解.2．两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为(　　)A．B．C．D．[答案]C[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0

14、，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC与B1D所成的角为.考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.[解析](1)取AB中点为O，连接OD，OB1，∵B1B＝B1A，∴OB1⊥AB.又AB⊥B1D

15、，OB1∩B1D＝B1，∴AB⊥平面B1OD，∵OD⊂平面B1OD，∴AB⊥OD.∵∠B1BC＝90°，即BC⊥BB1，又OD∥BC，∴OD⊥BB1，又AB∩BB1＝B，∴OD⊥平面ABB1A1，又OD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直.以O为坐标原点，的方向为x轴的方向，

16、

17、为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题设知B1(0，0，)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，).则＝(0，1，－)，＝(2，2，0)，＝(－1，0，)

18、.设平面ACC1A1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由得取m＝(，－，1).∴cos〈，m〉＝＝＝－，∴直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为.【类题通法】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【对点训练】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.(1)证明：AB

19、⊥B1C；(2)若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.[解析](1)连接AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，由余弦定理得，AB＝AB2＋BB－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3，∴AB1＝，∴BB＝AB2＋AB，∴AB1⊥AB.又△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，∴AC⊥AB，∵AC∩AB1＝A，∴AB⊥平面AB1C.又B1C⊂平面AB1C，∴AB⊥B1C.(2)∵AB1＝，AB＝AC＝1，B1C＝2，∴B1C2＝AB＋AC2，∴AB1⊥AC.如图，以A为原点，以，，的方向分别为x轴，

20、y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，∴＝(－1，0，)，＝(－1，1，0).设平面BCB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令