高考数学复习立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法(二)__求空间角课件理.pptx

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1、第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知识梳理1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

2、cos〈a，n〉

3、3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝___________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

4、cosθ

5、＝______________

6、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

7、cos〈n1，n2〉

8、诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.9

9、0°答案C答案C答案30°5.(2017·郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.解析如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，答案45°解(1)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，图1图2考点二　利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】(2

10、016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】(2017·福州质检)如图，三棱柱ABC－

11、A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.(1)证明：AB⊥B1C；(2)若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.又△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，∴AC⊥AB，∵AC∩AB1＝A，∴AB⊥平面AB1C.又B1C⊂平面AB1C，∴AB⊥B1C.考点三　利用空间向量求二面角(易错警示)【例3】(2017·商丘模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面

12、ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；(3)求二面角B－B1D－C的余弦值.(1)证明取AB中点为O，连接OD，OB1，∵B1B＝B1A，∴OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，①∴AB⊥平面B1OD，∵OD⊂平面B1OD，∴AB⊥OD.∵∠B1BC＝90°，即BC⊥BB1，又OD∥BC，∴OD⊥BB1，又AB∩BB1＝B，∴OD⊥平面ABB1A1，又OD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABB1A1.规律方法利用向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面

13、的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.易错警示对于①：用线面垂直的判定定理易忽视面内两直线相交；对于②：建立空间直角坐标系，若垂直关系不明确时，应先给出证明；对于④：求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：1°通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；2°当不易观察二面角是锐角

14、还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定.【训练3】(2016·兰州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.(1)求证：OC⊥PD；(2)若PD与平面PAB所成的角