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《高考数学复习立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法(二)__求空间角和距离课件理.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引基础知识 自主学习1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0，][0，π]求法cosθ＝cosβ＝设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝
2、cosβ
3、＝.2.直线与平面所成角的求法3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α
4、－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
5、cosθ
6、＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
7、cos〈n1，n2〉
8、利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则
9、AB
10、＝＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为＝.知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的
11、角是这两个平面所成的角.()思考辨析×××(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.()√×1.(2016·烟台模拟)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为A.45°B.135°C.45°或135°D.90°考点自测答案解析即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为A.30°B.60°C.120°D.150°答案解析∵0°≤θ≤9
12、0°，∴θ＝30°.故选A.3.(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为答案解析设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈〉＝，故选A.4.(教材改编)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_____.答案解析∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，
13、5.P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________.答案解析90°不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴二面角α－AB－β的大小为90°.题型分类 深度剖析题型一 求异面直线所成的角例1(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；证明如图
14、所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解答所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空
15、间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.跟踪训练1如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′，已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小.解答如图所示，以D为原点，DA为单位长度，建立空间直角坐标系，即DH与CC′所成的角为45°.题型二 求直线与平面所成的角例2(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA
