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《（全国通用）2019届高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离最新考纲考情考向分析1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题．2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π
2、]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝
3、cosβ
4、＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
5、cosθ
6、＝
7、cos〈n1，n2〉
8、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．知识拓展利用空间向量求距离(供选用)(1)
9、两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则
10、AB
11、＝
12、
13、＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为
14、
15、＝.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，
16、二面角的范围是[0，π]．( √ )(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )题组二 教材改编2．[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案 C解析 cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．[P117A组T4(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)
17、ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______．答案 解析 以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线分别为x轴，y轴，z轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1的中点，则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)，＝(1,0,2)．∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，cos∠C1AD＝＝＝，又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.题组三 易错自纠4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1
18、的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.答案 C解析 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设直三棱柱的棱长为2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)．∴cos〈，〉＝＝＝＝.5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．答案 30°解析 设l与α所成角为θ，∵co
19、s〈m，n〉＝－，∴sinθ＝
20、cos〈m，n〉
21、＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.6．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的角为______．答案 45°解析 如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.∴＝(
22、0,1,0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的角为45°.题型一 求异面直线所成的角典例如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角
