2018高考数学考点突破——立体几何:空间几何体的表面积与体积+含解析

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1、空间几何体的表面积与体积【考点梳理】1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧直积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台•八°y侧面展开图戸丨侧面积公式S関柱侧=2兀厂/S圆锥侧=型/S圆台侧=兀(门+厂2)/3•柱、锥、台和球的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=^Sh台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V—:(S上+S卜球S=4兀R2V-3tc/?3【考点突破】考点一、空间几何体的表面积【

2、例1】⑴某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()俯视图B.11+2迈D.15A.8+2^2C.14+2迈(2)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是警,则它的表面积是()已(9A.17兀B.18nC.20tiD.28兀[答案]⑴B(2)A[解析](1)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.直角梯形斜腰长为7卩+卩=也,所以底面周长为4+^2,侧面积为4+2^2+2+2=8+2迈,两底面的面积和为2X*XlX(l+2)=3・所以该几何体的表面积为8+2^2+3=11+2^2.(2)由几何体

3、的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的£得到的几何体如图•设球的半径为R,则扌兀g28丁兀,7解得R=2.因此它的表面积为^X4k/?23+才兀/?2=17k.故选A.【类题通法】1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和.(2)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理.1.若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.【对点训练】1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36书C.90D.

4、81[答案]B[解析]由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3X3+3X6+3X375)X2=54+1875.故选B.2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为〃组成一个几何体,该几何体三视图屮的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+2071,则r=()C・4D.8[答案]B[解析]如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为厂,圆柱的底面半径为r,高为2厂,则表面积5=2^4^+兀,+4,+兀严2厂=(5兀+4)/.又S=16+20tt,・・・(5兀+4”2=16+20兀,Ar2=4,

5、r=2,故选B.正视方向考点二、空间几何体的体积【例2】(1)在梯形/WCD屮,ZABC=号,AD//BC,BC=2AD=24B=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋传一周而形成的曲面所围成的儿何体的体积为()r4兀5兀•TBTD-2兀(2)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.俯视图[答案]⑴C(2)2[解析](1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径,ED为高的圆锥,如图所示.由于V^=t

6、iAB2BC=tiX12X2=2tu,V舲=*兀&°£=$.I?%(2-1)=

7、,IT5兀所以该几何体的体积胡柱一卩圆锥=2兀一3=了.(2)由三视图知,四棱锥的高为3,底面平行四边形的一边长为2,对应高为1,11所以其体积V=3S/?=3X2X1X3=2.【类题通法】1・若所给定的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.1.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解.2.若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.m3.【对点训练】1.一个几何体的三

8、视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为[解析]由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成,其中圆锥的底面半径和高均为1,圆柱的底面半径为1且其高为2,故所求几何体的体积为V=^x12X1X24-7TX2X2=3兀1.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为()c1I返B5+3兀可得半球半径为¥,从而该几何体的体积为gx12X1c.*+[答案]c[解析]由三视图知,该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,结合三视图c.考点三、多面体与球的切、接问题

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