2018高考数学考点突破——选考系列:坐标系+含解析

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1、坐标系【考点梳理】1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换[x'=Kx,A>0,设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换0,—[y=型,“>o的作用下,点P(X,y)对应到点P'(xf,yf),称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2•极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图1所示,在平面内取一个定点0(极点),自极点0引一-条射线0x(极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段0M的长度p

2、和从Ox到0M的角度&来刻画,这两个数组成的有序数对(p,切称为点M的极坐标.其中p称为点M的极径,&称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x,y)极坐标(p,切互化公式(x=pcos野,[y=Qsin*p2—x2+y2tan疗一(xHO)A4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为厂的圆Q=r(0Wi9<2n)圆心为(匚0),半径为r■的圆T5T70=2rcos彳一芋W疗W月(p=2rsinP(OWOVti)圆心为门亍,半径为厂的圆0X5•直线的极坐标方程(1)直线/过极点,

3、H极轴到此直线的角为则直线/的极坐标方程是O=a(pGR)・(2)直线/过点M0O)且垂直于极轴,则直线/的极坐标方程为pcos&=(Tla(巧VX刖⑶直线过M(b,号且平行于极轴,则直线/的极坐标方程为Qsin

4、标方程.[解析](1)设(m门)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(兀,尹),依由Xi+ji=l得x2+(^2=l,7故曲线C的方程为X2+~=1.2/+牛=1,fx=i,b=o,⑵由4解得A或“1),所求直线斜率为k+y-2=o,・=0b=2.不妨设P1(1,O),尸2(0,2),则线段卩屮2的中点坐标为(刁于是所求直线方程为y-=化为极坐标方程,并整理得2pcos4psin0=—3,3故所求直线的极坐标方程为—sin〃二2cos()•【类题通法】1・解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中

5、的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P(x1,yf)的坐标关系,利用方程思想求解.1.求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将x=pcos0,y=psin&代入转化.【对点训练】x'=3x,在平面直角坐标系中,已知伸缩变换严仁/0=y.(1)求点/(*,一2)经过卩变换所得点力‘的坐标;(2)求直线Ay=6兀经过卩变换后所得肓线〃的方程.[解析](1)设点川(x1,”),由伸缩变换兀'=3x,2屛=y9x'=3工,得仁」丁一2,1—2・•・兀'=§X3=1,yf

6、=—=-!.:.点才的坐标为(1,-1).(2)设X,yf)是直线厂上任意一点.由伸缩变换(p:兀'=3x,2/=yfx'x=-~,得3严2”,x代入y=6x9得2y"=6~^~=2x,,:.yf=xr为所求直线厂的方程.考点二、极坐标与直角坐标的互化【例2】在直角坐标系xOp屮,直线兀=一2,圆C2:(x-1)2+O-2)2=1,以坐标原点为极点,X轴的止半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Ci,C2的极坐标方程;71(1)若直线C3的极坐标方程为0=&(严R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.

7、[解析](1)因为x=pcos0,y=psin0,所以G的极坐标方程为pcos0=—2,C2的极坐标方程为p2_2pcos0-4psin0+4=0.(2)将&=中代入p2—2pcos<9—4/;sin0+4=0,得p2—3也p+4=0,解得p=2y[i,p2=並故p—p2=逗,即

8、M7V

9、=迈.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为士【变式1】若本例条件不变,求直线G与C2的交点的极坐标.pcos0=~2,[解析]联立方程{兀、解得0=中且〃=—2返所以交点的极坐标为(一2迈,另.【变式2】本例条件不

10、变,求圆C2关于极点的对称圆的方程.[解析]因为点S,0)与点(一“,0)关于极点对称,设点(/儿0)为对称圆上任意一点,贝>](—/),0)在圆C?上,所以(一p)2+2〃cos0+4/?sin0+4=0.故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2+y2+2x+4y+4=0.【类题通法】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式:x=pcos0,y=psin3,/92=x2+^2,

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