2019高考数学考点突破——选考系列：坐标系学案.doc

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1、坐标系【考点梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为

2、点M的极径，θ称为点M的极角．3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2tanθ＝(x≠0)4．圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)5．直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ

3、＝b(0＜θ＜π)．【考点突破】考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.[解析](1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.∴点A′的坐标为(1，－1).(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，∴y′＝x′为所求直线l′的方程.【类题通法】1.平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝

4、h(x′)为所求.2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.【对点训练】1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标.[解析]设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由得代入曲线C：x2－＝1，得－＝1，即曲线C′的方程为－＝1，因此曲线C′的焦点F1(－5，0)，F2(5，0).2．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．[解析]设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将代入y＝6x得2y′＝

5、6×，所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x.考点二、极坐标与直角坐标的互化【例2】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解析](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋

6、4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即

7、MN

8、＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.【类题通法】1．直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcosθ，ρsinθ代替即可得到相应极坐标方程．2．求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：【对点训练】把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程.[解析]将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.【例3】在极坐标系下，已知圆O

9、：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.[解析](1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.【类题通法】极坐标方程化为直角坐标方程的步骤(1)判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述

10、两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程