2019高考数学 考点突破——选考系列：不等式的证明学案

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1、不等式的证明【考点梳理】1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据a＞b⇔a－b＞0a＜b⇔a－b＜0a＝b⇔a－b

2、＝0b＞0，＞1⇒a＞bb＜0，＞1⇒a＜b(2)综合法与分析法①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．【考点突破】考点一、比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b).[解析]因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a

3、)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝.因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有与同号，所以≥0，所以a2＋b2≥(a＋b).【类题通法】作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．【对点训练】已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.[解析]法一因为＋－(＋)＝＝，∵a>0，b>0，∴>0.因此＋≥＋.法二由于＝＝＝－1≥－1＝1.又a>0，b>0，>0，所以＋≥

4、＋.考点二、综合法证明不等式【例2】已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

5、a＋b

6、<

7、1＋ab

8、.[解析](1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1

9、－1

10、)<0，所以(a＋b)2<(1＋ab)2，因此

11、a＋b

12、<

13、1＋ab

14、.【类题通法】1．综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．【对点训练】已知函数f(x)＝2

15、x＋1

16、＋

17、x－2

18、.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥

19、3.[解析](1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3，6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.综上，f(x)的最小值m＝3.(2)a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，因为＋＋＋(a＋b＋c)＝＋＋≥2＝2(a＋b＋c).(当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”)所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.考点三、分析法证明不等式【例3】设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋

20、>＋是

21、a－b

22、<

23、c－d

24、的充要条件．[解析](1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，欲证＋＞＋，只需证明(＋)2＞(＋)2，也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，只需证明＞，即证ab＞cd.由于ab＞cd，因此＋＞＋.(2)①若

25、a－b

26、<

27、c－d

28、，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得＋>＋.②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)

29、2－4cd＝(c－d)2.因此

30、a－b

31、<

32、c－d

33、.综上，＋>＋是

34、a－b

35、<

36、c－d

37、的充要条件.【类题通法】1．本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过