线性代数期末考试试卷与评分标准

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1、试卷编号命题人：审批人：试卷分类（A卷或B卷）片试卷学期：2005至2006学年度第二学期课程：线性代数专业：班级：姓名：学号：得分得分求炉阵xa••-a计算行列式Dn=ax二f.aa…x083的逆阵分）052丿（io分）题号—•二三四五七八九十总分得分得分是它的三个解向量.且设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知％秘/帀产(2,3,4,5)；举+〃尸(1,2,3,4)：求该方程组的通解.(12分)得分已知F的两个基为:a=(l,1,1)；a-(l,0,-1)；53=(1,0,1)1A=(l,2,1)：&=(2,3,4)

2、：&=(3,4,3)：:求由基禺型到基加&,厶的过渡矩阵*(12分)加

3、+花+兀3=1五、得分设{兀1+加2+乳3=2问&为何值吋，此方程组（1）有唯一解（2）无解x}+x2+Ax3=^得分:还是线性无关；S:正交化（16分）。.（3）有无穷多解？（15分）（1）判定向虽组（-1,3,1）；（2,1,0）；（1,4,l）z是线性相关（I1n（2）试用施密特法把向量组佝』2宀）=124I39丿得分已知3阶矩阵4的特征值为-123,求A3-5A2+7A.（10分）求一个正交变换将二次型/（X!，X2,X3）=2x,2+3x22+3x

4、32+4兀2兀3化成标准形（15分）:大学试卷评分标准及参考答案:学期：2005至2006学年度第二学期:课程：线性代数得分(10分)xa・・・a计算行列式Dn=a；；；f.ad…x:解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得Dn=doo--・X••••••••o••••a・do一-oX・a・d一o•oX・XX•XX一一•一-4分:再将各列都加到第一列上，得x+{n-V)a00aa…x-a0…0x-a…000x-a=[x+(n-.10分；则得分求矩阵〔52、<21；(520<083)52J210000850、032丿的逆阵(10分

5、)A-1(5-2)5丿，2v-5—3)8丿r52OH00300821iA0038-oO2-52500200得分四、；a=(l,1,1)；32=(1,0,-1)；念=(1,0,1)1:求由基禺砌金到基加&,/的过渡矩阵只:解：设引,如勺是三维单位坐标向量组，贝U10-14(Q],。2,他)=(°1，°2,“3)1仃(弓，*2,°3)=("1，“2,“3)110-1；于是(酉，方2,為)=(勺,勺，纟3)=@1卫2卫3)10-15=仃，2,1)：A=(2,3,4)：厶=(3,4,3)〔(12分)/1Y101丿34323411211z

6、ri11211zrI设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知彳，孕，/是它的三个解向量.且帀产(2,3,4,5)；举+茅=(1,2,3,4)：求该方程组的通解.(12分)；解：由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解:系含有一个向量,4分:且由于如72,处均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得12巾一52+耳3)=(巾一耳2)+(巾一耳3)=(3,4,5,6)t:为其基础解系向量10分:故此方程组的通解为：:12分:兀=鸟(3,4,5,6)0(2,3,4,5)[(展R).

7、得分已知R'的两个基为•由基山卫2,的到基臥血沧的过渡矩阵为<110一1〔123)<234)p=100234—0-10Jji丿J43：「10-1丿12分^五.得分Axl+x2+x3=l设^1+Ax2+jc3=A问兄为何值吋，此方程组（1）有唯一解（2）无解xl+x2+Ax3=^?:1P111、(11rrx2A2，解B=1A12~02—11—22(1-2)1:<112巧(00(l-A)(2+2)(1-A)(A+1)27.（3）有无穷多解?（15分）1⑴要使方程组有唯一解必须R（A）=3.因此当冷1且冷-2时方程组有唯一解9分:⑵

8、要使方程组无解，必须R（AXR（B）,故:（1一2）（2+/1）=0,（1-2）（A+1）VO.12分*因此2时，方程组无解.:（3）要使方程组有有无穷多个解，必须R（A）=R（B）＜3,故1（l-2）（2+Z）=0,（I一2）（兄+1）2=0.15分:因此当2=1时，方程组有无穷多个解.-六、（1）判定向量组（-1,3,得分1）：（2,1,0）；（1，4,1），是线性相关「还是线性无关；（2）试用施密特I法把向量组（a!，a29a3）=15正交化（16分）。:解：（1）以所给向量为列向量的矩阵记为4.因为r-i2nrr-i21

9、、r<-l21)314077011(101丿(022丿J00()丿；所以心幻=2小于向量的个数，从而所给向量组线性相关:（2）根据施密特正交化方法，:⑴sb=a、=1:U厂3酉如4少2血「3得分:七、已知3阶矩阵A的特征值为-1,2,3,求A3-5A2+7A.