线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准.doc

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1、线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷号：B20130314一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分,共20分)1、设是两个三维向量，且,则（B）2、下列矩阵中，（D）不是正交矩阵。        3、二次型是正定的，则的取值范围是（C）（A）(B)(C)(D)4、已知3阶方阵的3个特征值分别为，则下列命题不正确的是（C）矩阵为不可逆矩阵；矩阵与对角阵相似； 和 所对应的特征向量是正交的；     方程组的基础解系由一个向量组成。5、直线与平面的夹角为(   A    )         二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分,共20分)1、设为3阶矩阵，将的第2

2、列的倍加到第1列上得到矩阵,若矩阵,则矩阵2、设4阶矩阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩0.3、设矩阵满足,其中为同阶的单位矩阵，则4、设矩阵，若齐次线性方程组有非零解，则2。5、曲面与平面的交线在平面上的投影曲线方程为。三、（10分）计算行列式解：5分10分四、(10分)解矩阵方程,其中,解:,5分10分五、(10分)求向量组的秩与一个极大无关组。解：,………6分故,………8分是一个极大无关组。………10分六、(10分)设有两个齐次线性方程组：（Ⅰ）（Ⅱ）（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？解：(1)方程组（Ⅰ）的系数矩阵,,基础解系中含有两个线性无关的解

3、向量：,5分(2)将方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）联立得方程组，判断是否有解，对系数矩阵进行初等变换化为阶梯形：，,方程组有非零解，即方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解。10分七、（10分）已知直线的一般方程为：（1）将直线的一般方程化为标准方程（点向式方程）；（2）直线在面上的投影直线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程。解：（1）在直线上求一点,直线的方向向量：4分直线的标准方程为：5分（2）由直线的一般方程消去得面上投影直线的方程：7分直线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为：即10分八、(10分)设，求一个正交变换将二次型化为标准形解：二次型的矩阵为：，2分解特征方程，得的特征值为4分当时，解方程组，得基

4、础解系，单位化，得6分当时，解方程组，得基础解系，将其单位化得，8分取则为正交矩阵于是正交变换将二次型化为标准型：10分