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1、二（_6,4,0）BG=(-2,2,2a/2).2,2,2血『-(-2,2,272)利用空间向量巧解距离问题748200甘肃省渭源县第一中学董治中曹平原关键词：向量法向量单位向量数量积向量模距离摘要：本文主要论述的是：如何利用空间向量知识，巧妙地解决立体几何中距离的计算问题.关于距离的计算问题，是立体几何中最常见的疑难问题.这些问题大体上可分为以下五类：就是点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线之间的距离、直线与平面的距离和平面与平面的距离.把向量知识作为一种工具，运用于立体几何中，就能很巧妙地解决
2、这些疑难问题.本文比较详细地论述了立体几何中有关距离的各种计算问题，文中提出的一些具体方法是非常有用的.立体儿何屮的很多问题，用传统的思维方式解决时，困难较多.一是作图较难，二是思维抽象，三是运算量大.因此，在新编立体儿何教材中，增加了空间向量的有关知识.有了空间向量知识，就可以用一•种全新的思维方式，来分析空间中线线、线面、面面之间的各种位置关系.这种新的思维方式，既是对传统思维方式的补充，又是对传统思维方式的挑战.利用向量知识，可以把空间图形Z间齐种关系，转化为向量Z间关系.可以把空间图形位置关系
3、的抽象讨论，全部转化为向量的具休运算.从而，降低思维难度，淡化推理论证，简化解题过程.可以说在新教材中，增加向量知识是教材改革中垠为成功的地方.对于立体儿何中，用传统思维方式难以解决的一些问题，如果利用向量知识解决，就比较容易.把空间向量作为i种工具，就能很巧妙地解决立体几何中很多疑难问题.如平行和垂直的证明，角和距离的计算，等等.在这里主要讨论一下，如何利用空间向量的一些知识，巧妙地解决立体几何屮有关距离的各种计算问题.一、点到线的距离，可以用这点到直线上任意的一点向量和直线上的单位向量来计算例1已
4、知矩形ABCD的边长AB=6,AD=4,在CD±取一点E,使得CE=4,将ABCE沿BE所在宜线折成ABGE,使ABGE的高GF丄平面ABCD,求G到宜线BD的距离.解：以A为原点，如图建立直角坐标系.贝lU（0,0,0）,B（6,0,0）,C（6,4,0）,Q（0,4,0）;G（4,2,2"）.由此得丽二（-6,4,0）,线段BD上的单位向量是:作GH丄BD于H.利用公式：GH=J（丽『一（丽.才可以求得点G到直线BD的距离：二、点到平面的距离，可以用这点到平面上任意的一点向量在平面法向量上的射影的
5、绝对值计算，也可以用向量的模进行计算例2①已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1).求D(2,0,的距离.-1）到平面ABC②已知四边形ABCD中,ZBAD=ZABC=90°,PA丄平ffiABCD,PA=AD=3,AB=2,BC=1.求点D到平面PAC的距离.解：①设A（a,b,c）是平面ABC的法向量，由于=由此解得a=-b-AB=On-AC=O令a=1,得b=—l,c=—19n=(1,—1,—1).又•/DA=(—1,0,1).・••所求距离d(1，-—1)2^3~T~②
6、以A为坐标原点，分别以AB^AD,AP所在直线为x、y、刁轴建立坐标系.过D作DQ丄AC于Q,TPA丄平面ABCD,APA±DQ,・・.DQ丄平而PAC,・・・
7、万硏就是D到平面PAC的距离.AB=(2,0,0),BC^(0,l,0),AD=(0,3,0).设屁=m~AC=m{AB+BC)=加(2,1,0)(m>0),DQ—DA+AQ=(0,—3,0)+加(2,1,0)=(2m,m—3,0),由万◎丄元，得万0•AQ=(2m,m-3,0)•加(2,1,0)=0,”罟0),・・・冈彳($+(_》6^5三
8、、异面直线的距离，可以用连接异面直线两点的向量和与异面直线同时垂直的单位向量来计算例3如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF的边长都为a的止方形，点P、Q分别是ED和AC的中点.求异面直线的距离PM与FQ的距离.解：以D为原点，如图建立直角坐标系，则得M（o,o,a）,P—,o9—,Q—,0,F（0,a,a）2丿2丿~PM=-(-1,01),MF=(0,d,0).2z—,0-(0,a,a)=^-(1,-1,-2).设向量斤=(兀,y,z)与向量PM、FQ都垂宜，则22丿2(x,y,?)石(-
9、i,oi)=0(x,y,z)•彳(1,-1,-2)=0(-兀+z=0b_y_2z=0x=1令x=l得10、(1,j,ljz=1I32aa2d、a，39T>二彳(-1,1,1),z则EF到平面ABCiDi间的距离为：d=(a,0,Q)仏0,町41a例5如图，止三棱柱ABC—A]BC中，AB=AA,=a,M、N分别是A
11、B】、AB的中点⑴求证：平面AMCi〃平面N
